2014年北约华约自主招生模拟试题.doc

文档介绍：2014年“北约”“华约”自主招生模拟试题
数学(满分150分)
第一部分:填空题(共5小题每题10分)
1. 若,则= 1 .
2. 在复数集C内,方程的解为.
3. 设,求数x的个位数字.
4. 设,则集合A中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______70_______.
5. 设P是抛物线上的动点,点A的坐标为,点M在直线PA上,
且分所成的比为2:1,则点M的轨迹方程是 9y²-12x-4=0 .
第二部分:解答题(共5小题每题20分)
1设集合,.若,求实数的取值范围
-1≤a<0或0<a≤3
2. 为了搞好学校的工作,,且任何两个班级都至少有一条建议相同,
3. 设平面向量,.若存在实数和角,
使向量,,且.
(I)求函数的关系式; (II)令,求函数的极值.
4. 已知双曲线的两个焦点分别为,,其中又是抛物线的焦点,点A,
B在双曲线上.
(I)求点的轨迹方程; (II)是否存在直线与点的轨迹有且只
有两个公共点?若存在,求实数的值,若不存在,请说明理由.
5. 已知a,b均为正整数,且求证:对一切,均为整数
参考答案
选择题
1. 由,得,有,即.
则,原式=.
2. 设,,代入原方程整理得
有,解得或,所以或.
3. 直接求x的个位数字很困难,需将与x相关数联系,转化成研究其相关数.
【解】令
,由二项式定理知,对任意正整数n.
为整数,且个位数字为零.
因此,,
因为, 且,
所以故x的个位数字为9.
【评述】转化的思想很重要,当研究的问题遇到困难时,将其转化为可研究的问题.
4. 解:被除余的数可写为. 由≤≤.知≤≤.
又若某个使能被57整除,则可设=57n. 即.
即应为7的倍数. 设代入,得. ∴. ∴m=0,.
5. 设点P,M,有,,得,
而,于是得点M的轨迹方程是.
解答题
1. 解:,.
当时,,由得;
当时,,由得;
当时,,与不符.
综上所述,
2. 证明:假设该校共有个班级,他们的建议分别组成集合。这些集合中没有两个相同(因为没有两个班级提出全部相同的建议),而任何两个集合都有相同的元素,因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在中至多有A(所有P条建议所