文档介绍：指数函数、对数函数与幂函数
知识回顾
Ⅰ、指数函数的概念及运算性质
1、概念:式子叫做根式,n叫根指数,a叫被开方数(平方根,立方根,n次方根的概念)。0的任何次方根都等于0,记作:
2、两个等式:A、n>2时,且时,
B、n为正奇数时,;n为正偶数时候,
3、正数的正分数指数幂的意义:
正数的负分数指数幂的意义:
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。
4、指数概念由整数扩充到有理数后,指数的运算性质由5条合并成3条
①②③
Ⅱ、对数的概念及运算性质
1、概念:,以10为底的对数叫做常用对数:;以e=:
2、对数的性质:对数的性质:①;②;③
3、对数的运算法则:
①____________________;②____________________;③____________________;
④______________;⑤换底公式:______________;换底公式推论:_______________;
⑥倒数公式:;⑦对数恒等式:④
Ⅲ、指数、对数函数的概念
(1)指数函数的概念:函数叫做指数函数,其中a是一个大于零且不等于1的常量,函数的定义域为R;
(2)对数函数的概念:函数叫做对数函数,其中a是一个大于零且不等于1的常量,函数的值域是R。
Ⅳ、幂函数的概念
形如的函数称为幂函数(为常数),重点掌握时的幂函数及其图像。
Ⅴ、幂函数的性质和图像
幂函数的图像分为二大类,三种情况。A类:当时,在第一象限内为增函数,A类分两种情况;
B类:当
时,在第一象限内为减函数,B类只有一种情况。
总结:1、所有幂函数在内有定义,并且过定点;
2、当时,幂函数图像过原点,且在第一象限内单调递增;
3、当时,幂函数在第一象限单调递减。
作法:1、标注,根据a的大小确定单调性;
2、根据a的大小和单调性确定第一象限的图像;
3、根据奇偶,定义域确定图像的其余部分。
Ⅵ、指数、对数函数的图像
名称
指数函数
对数函数
一般
形式
定义域
实数集R
值域
实数集R
图像
单调性
定义域上的增函数
定义域上的减函数
定义域上的增函数
定义域上的减函数
函数值
分布
过定点
过定点
过定点
过定点
x>0,则y>1
x<0,则y<1
x>0,则y<1
x<0,则y>1
x>1,则y>0
0<x<1,则y<0
x>1,则y<0
0<x<1,则y>0
函数与方程及函数模型
知识回顾
Ⅰ、函数与方程
1、实系数一元二次方程的实根符号与一元二次方程系数之间的关系
(1)方程有两个不相等的正实数根: (2)方程有两个不相等的负实数根:
2、一元二次方程的区间根问题
研究一元二次方程的区间根,一般情况下需要从以下三个方面考虑:
(1)一元二次方程根的判别式;
(2)对应二次函数区间端点函数值的正负;
(3)对应二次函数图像——抛物线的对称轴与区间的端点的位置关系。
设是实系数二次方程的两实根,则的分布范围与二次方程系数之间的关系如下:
根的分布
图像
充要条件
根的分布
图像
充要条件
有且仅有一个在内
或
或
3、函数的零点与方程的根的关系
(1)一般地,如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间内有零点,即存在,使得,这个c也就是方程的根。我们称方程的实数根叫做函数的零点,函数的零点就是使得函数值为0的自变量的值。
(2)函数的零点就是方程的实数根,也就是函数的图像与x轴的交点的横坐标,即方程
有实数根函数有零点函数的图像与x轴有交点。
(3)函数的零点就是方程的实数根,也就是函数的图像与函数图像交点的横坐标。
(4)函数的零点是针对方程是否有实数根而言的,若方程没有实数根函数没有零点函数的图像与x轴没有交点。
4、用二分法求方程近似解
用二分法求函数近似解的一般步骤:
第一步:确定一个区间,使得;
第二步:求区间的中点;
第三步:计算的值:
①若,则就是函数的零点,计算终止;②若,则令【此时零点】;③若,则令【此时零点】
第四步:判断是否达到精度:即若,则得到零点近似值;否则重复第二、第三、第四步。
Ⅱ、函数模型及其应用
1、在区间上,函数,和都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一档次上;
2、随着x的增大,的增长速度越来越快,会超过并远远大于的增长速度,表现为指数爆炸;的增长速度越来越慢。
3、随着x的增大,的图像逐渐表现为与y轴平行,而的图像逐渐表现为与x轴平行。
4、总会存在一个,当时,有
5、的增长速度大于的增长速度大于的增长速度。
导数的概念及