文档介绍：第9章常微分方程初值问题数值解法
引言
简单的数值方法与基本概念
龙格-库塔方法
单步法的收敛性与稳定性
线性多步法
方程组和高阶方程
引言
科学技术中常常需要求解常微分方程的定解问题. 这类问题最简单的形式,是本章将着重考察的一阶方程的初值问题
我们知道,只有f(x, y)适当光滑—譬如关于y满足利普希茨(Lipschitz)条件
理论上就可以保证初值问题的解y=f(x)存在并且唯一.
虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法,但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程,实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法.
所谓数值解法, 就是寻求解y(x)在一系列离散节点
上的近似值 y1,y2,,yn,yn+1,. 相邻两个节点的间距hn=xn+1-xn称为步长. 今后如不特别说明,总是假定 hi=h(i=1,2,)为定数, 这时节点为xn=x0+nh(i=0,1,2,) (等距节点).
初值问题的数值解法有个基本特点,他们都采取“步进式”,即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进. 描述这类算法,只要给出用已知信息yn,yn-1,yn-2,计算yn+1的递推公式.
首先,要对微分方程离散化,建立求解数值解的递推公式. 一类是计算yn+1时只用到前一点的值yn,称为单步法. 另一类是用到yn+1前面 k 点的值yn,yn-1,, yn-k+1,称为k步法. 其次,要研究公式的局部截断误差和阶,数值解yn与精确解y(xn)的误差估计及收敛性,还有递推公式的计算稳定性等问题.
简单的数值方法与基本概念
欧拉法与后退欧拉法
我们知道,在xy平面上,微分方程()式的解y=f(x)称作它的积分曲线,积分曲线上一点(x, y)的切线斜率等于函数f(x, y)的值. 如果按f(x, y)在xy平面上建立一个方向场,那么,积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方向相一致.
基于上述几何解释,我们从初始点P0(x0, y0)出发,先依方向场在该点的方向推进到x=x1上一点P1,然后再从P1点依方向场在该点的方向推进到 x=x2 上一点P2 , 循环前进做出一条折线P0 P1 P2.
一般地,设已做出该折线的顶点Pn,过Pn(xn, yn)依方向场的方向再推进到Pn+1(xn+1, yn+1),显然两个顶点Pn,Pn+1的坐标有关系
这就是著名的(显式)欧拉(Euler)公式. 若初值y0已知,则依公式()可逐次逐步算出各点数值解.
即
例1 用欧拉公式求解初值问题
解取步长h=,欧拉公式的具体形式为
其中xn=nh= (n=0,1,,10), 已知y0 =1, 由此式可得
依次计算下去,部分计算结果见下表.
与准确解相比,可看出欧拉公式的计算结果精度很差.
xn
欧拉公式数值解yn
准确解y(xn)
误差

欧拉公式具有明显的几何意义, 就是用折线近似代替方程的解曲线,因而常称公式()为欧拉折线法.
=y(xn),即顶点Pn落在积分曲线y=y(x)上,那么,
按欧拉方法做出的折线PnPn+1便是y=y(x),这样定出的顶点Pn+1显著地偏离了原来的积分曲线,可见欧拉方法是相当粗糙的.
为了分析计算公式的精度,通常可用泰勒展开将y(xn+1)在xn处展开,则有
在yn=y(xn)的前提下,f(xn,yn )=f(xn,y(xn))=y(xn).于是可得欧拉法()的公式误差为
称为此方法的局部截断误差.