文档介绍：高等数学上册知识点
函数与极限
函数
函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性);
反函数、复合函数、函数的运算;
初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数;
函数的连续性与间断点;
函数在连续
第一类:左右极限均存在.
间断点可去间断点、跳跃间断点
第二类:左右极限、至少有一个不存在.
无穷间断点、振荡间断点
闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.
极限
定义
数列极限
函数极限
左极限: 右极限:
极限存在准则
夹逼准则:
1)
2)
单调有界准则:单调有界数列必有极限.
无穷小(大)量
定义:若则称为无穷小量;若则称为无穷大量.
无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小
Th1 ;
Th2 (无穷小代换)
求极限的方法
单调有界准则;
夹逼准则;
极限运算准则及函数连续性;
两个重要极限:
b)
无穷小代换:()
()
()
导数与微分
导数
定义:
左导数:
右导数:
函数在点可导
几何意义:为曲线在点处的切线的斜率.
可导与连续的关系:
求导的方法
导数定义;
基本公式;
四则运算;
复合函数求导(链式法则);
隐函数求导数;
参数方程求导;
对数求导法.
高阶导数
定义:
Leibniz公式:
微分
定义:,其中与无关.
可微与可导的关系:可微可导,且
微分中值定理与导数的应用
中值定理
Rolle罗尔定理:若函数满足:
1); 2); 3);
则.
Lagrange拉格朗日中值定理:若函数满足:
1); 2);
则.
Cauchy柯西 中值定理:若函数满足:
1); 2);3)
则
洛必达法则
Taylor公式
单调性及极值
单调性判别法:,,则若,则单调增加;则若
,则单调减少.
极值及其判定定理:
必要条件:在可导,若为的极值点,则.
第一充分条件:在的邻域内可导,且,则①若当时,,当时,,则为极大值点;②若当时,,当时,,则为极小值点;③若在的两侧不变号,则不是极值点.
第二充分条件:在处二阶可导,且,,则
①若,则为极大值点;②若,则为极小值点.
凹凸性及其判断,拐点
1)在区间I上连续,若,则称在区间I 上的图形是凹的;若,则称在区间I 上的图形是凸的.
2)判定定理:在上连续,在上有一阶、二阶导数,则
a) 若,则在上的图形是凹的;
b) 若,则在上的图形是凸的.
3)拐点:设在区间I上连续,是的内点,如果曲线经过点时,曲线的凹凸性改变了,则称点为曲线的拐点.
不等式证明
利用微分中值定理;
利用函数单调性;
利用极值(最值).
方程根的讨论
连续函数的介值定理;
Rolle定理;
函数的单调性;
极值、最值;
凹凸性.
渐近线
铅直渐近线:,则为一条铅直渐近线;
水平渐近线:,则为一条水平渐近线;
斜渐近线:存在,则为一条斜
渐近线.
图形描绘
不定积分
概念和性质
原函数:在区间I上,若函数可导,且,则称为的一个原函数.
不定积分:在区间I上,函数的带有任意常数的原函数称为在区间I上的不定积分.
基本积分表(P188,13个公式);
性质(线性性).
换元积分法
第一类换元法(凑微分):
第二类换元法(变量代换):
分部积分法:
有理函数积分
1、“拆”;
2、变量代换(三角代换、倒代换、根式代换等).
定积分
概念与性质:
定义:
性质:(7条)
性质7 (积分中值定理) 函数在区间上连续,则,使(平均值:)
微积分基本公式(N—L公式)
变上限积分:设,则
推广:
N—L公式:若为的一个原函数,则
换元法和分部积分
换元法:
分部积分法:
反常积分
无穷积分:
瑕积分:
(a为瑕点)
(b为瑕点)
两个重要的反常积分:
1)
2)
定积分的应用
平面图形的面积
直角坐标:
极坐标:
体积
旋转体体积:
a)曲边梯形轴,绕轴旋转而成的旋转体的体积:
b)曲边梯形轴,绕轴旋转而成的旋转体的体积: (柱壳法)
平行截面面积已知的立体:
弧长
直角坐标:
参数方程:
极坐标:
微分方程
概念
微分方程:表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.
阶:微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.
解:使微分方程成为恒等式的函数.
通解:方程的解中含有任意的常数,且常数的个数与微分方程的阶数相同.
特解:确定了通解中的任意常数后得到的解.