文档介绍：数列高考知识点大扫描
数列基本概念
数列是一种特殊函数,对于数列这种特殊函数,着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质,依据这些性质将数列分类:
依定义域分为:有穷数列、无穷数列;
依值域分为:有界数列和无界数列;
依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法:列表法、图象法、解析法(通项公式法及递推关系法);
数列通项:
2、等差数列
1、定义当,且时,总有,d叫公差。
2、通项公式
1)、从函数角度看是n的一次函数,其图象是以点为端点, 斜率为d斜线上一些孤立点。
2)、从变形角度看, 即可从两个不同方向认识同一数列,公差为相反数。
又,
相减得,即.
若 n>m,则以为第一项,是第n-m+1项,公差为d;
若n<m ,则以为第一项时,是第m-n+1项,公差为-d.
3)、从发展的角度看若是等差数列,则,, 因此有如下命题:在等差数列中,若, 则.
3、前n项和公式
由,
相加得, 还可表示为,是n的二次函数。
特别的,由可得。
3、等比数列
定义当,且时,总有, q叫公比。
2、通项公式: , 在等比数列中,若, 则.
3、前n项和公式:
由, 两式相减,
当时, ;当时, 。
关于此公式可以从以下几方面认识:
①不能忽视成立的条件:。特别是公比用字母表示时,要分类讨论。②公式推导过程中,所使用的“错位相消法”,可以用在相减后所得式子能够求和的情形。
如,公差为d 的等差数列, ,则,
相减得,
当时,,
当时,;
3)从函数角度看是n的函数,此时q和是常数。
4、等差与等比数列概念及性质对照表
名称
等差数列
等比数列
定义
,
通项
公式
变式:
性质
中项
单调性
时增
时常数列
时减
或增;
或时减;
时常数列,时摆动数列
前
n
项
和
(推导方法:倒加法)
(推导方法:错位相消法)
结论1、
等差,公差d , 则等差公差kd ;子数列等差,公差md; 若等差,公差,则等差,公差。
等比, 公比q,则等比, 公比q ;等比,公比;等比,公比。子数列等比,公比; 若等差,公差d, 则等比, 公比为。
2、
等差,公差d 则等差,公差2d; 等差, 公差3d.
等差, 公差,且即连续相同个数的和成等差数列。
等比, 公比q , 则等比,公比; 等比,公比;等比,公比q;
等比,公比,(当k为偶数时,)。
3、
等比,公比
4、
等差共2n项,则
等差,共2n+1项,则
=
5、
等差
等比, 公比q
联系1、
各项不为0常数列,即是等差,又是等比。
2、
通项公式.
3、
等差,公差d,, 则,即等比,公比.
4、
等比,公比q,, 即等差,公差.
5、
等差, 等比, 则前n项和求法,利用错位相消法
6、
求和方法:公式法,倒加法,错位相消法,裂项法,累加法,累积法,等价转化法等。
5、递推数列表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递推公式。作为特殊的函数,数列可用递推式表示。求递推数列通项公式常用方法:公式法、归纳法、累加法、累乘法。特别的,累加法是求形如递推数列的基本方法,其中数列可求前n项和,即;累乘法是求形如递推数列通项公式的基本方法,其中数列可求前n项积,即.
等差数列
等差数列的概念
定义式:,或.
递推式:.
等差中项:任何两个数都有且仅有一个等差中项.
通项公式:,(广义).
特征:,其中.
前n项和:.
特征:,其中.
注:、等差中项、等差数列通项公式的特征、前n项和的特征,
都可以作为一个数列是等差数列的判定依据,但等差数列的证明必须根据定义式.
,都有
等差数列的性质
1. 若为等差数列,则.
2. 若为等差数列,且,则.
3. 若为等差数列,,则.
4. 若等差数列共有项,则①;②.
5. 若等差数列共有项,则①;②.
6. 若为各项均不为零的等差数列,前n项和为,则.
7. 若、均为各项非零的等差数列,前n项和分别为,则.
8. 在等差数列中,若,则.
9. 在等差数列中,若,则.
,若,则.
,则仍为等差数列,其中和是常数.
、为等差数列,则仍为等差数列.
,则序号成等差的项也成等差数列,即:若为等差数列,为
正整数等差数列,则为等差数列.
,则为等差数列为等差数列.
,则依次项和仍为等差数列,即…仍为
等差数列.
等比数列