文档介绍：第十章圆锥曲线
考点1 椭圆及其性质
1.(2016·浙江,7)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( )
>n且e1e2>1 >n且e1e2<1 <n且e1e2>1 <n且e1e2<1
1. A [由题意可得:m2-1=n2+1,即m2=n2+2,
又∵m>0,n>0,故m>n.
又∵e·e=·=·==1+>1,∴e1·e2>1.]
2.(2016·全国Ⅲ,11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,,且PF⊥,,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
[设M(-c,m),则E,OE的中点为D,则D,又B,D,M三点共线,所以=,a=3c,e=.]
3.(2014·大纲全国,6)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、△AF1B的周长为4,则C的方程为( )
A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1
[由椭圆的性质知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,
∴△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4,∴a=.
又e=,∴c=1.∴b2=a2-c2=2,∴椭圆的方程为+=1,故选A.]
4.(2016·江苏,10)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是________.
4. [联立方程组解得B、C两点坐标为B,C,又F(c,0),则=,=,
又由∠BFC=90°,可得·=0,代入坐标可得:c2-a2+=0①,
又因为b2=a2-①式可化简为=,则椭圆离心率为e===.
5.(2016·全国Ⅱ,20)已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>=4时,E的方程为+=1,A(-2,0).
由|AM|=|AN|及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.
因此直线AM的方程为y=x+2.
将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0,解得y=0或y=,所以y1=.
因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.
(2)由题意t>3,k>0,A(-,0),将直线AM的方程y=k(x+)代入+=1得(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=·(-)=得x1=,
故|AM|=|x1+|=.
由题设,直线AN的方程为y=-(x+),故同理可得|AN|=.
由2|AM|=|AN|得=,即(k3-2)t=3k(2k-1),
当k=时上式不成立,因此t=.
t>3等价于=<0,即<0.
由此得或解得<k<2.
因此k的取值范围是(,2).
6.(2016·四川,20)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.
(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;
(2)设O是坐标原点,直线l′平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.
6.(1)解由已知,a=b,则椭圆E的方程为+=1.
由方程组得3x2-12x+(18-2b2)=0.①
方程①的判别式为Δ=24(b2-3),由Δ=0,得b2=3,
此时方程①的解为x=2,所以椭圆E的方程为+=(2,1).
(2)证明由已知可设直线l′的方程为y=x+m(m≠0),
由方程组可得所以P点坐标为.|PT|2=m2.
设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
由方程组可得3x2+4mx+(4m2-12)=0.②
方程②的判别式为Δ=16(9-2m2),
由Δ>0,解得-<m<.
由②得x1+x2=-,x1x2=.
所以|PA|==,同理|PB|=.
所以|PA|·|PB|=
=
==m2.
故存在常数λ=,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.
7.(2015·重庆,21)如图,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P、Q两点,且PQ⊥P