文档介绍：二次函数与线段问题
(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3).
(Ⅰ)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;
(Ⅱ)直线CD交x轴于点E,过抛物线上在对称轴右边的点P,作y轴的平行线交x轴于点F,交直线CD于点M,使PM=EF,请求出点P的坐标;
(Ⅲ)将抛物线沿对称轴平移,要使抛物线与(Ⅱ)中的线段EM总有交点,那么抛物线向上最多平移多少个单位长度?向下最多平移多少个单位长度?
解:(Ⅰ)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3),
把点C(0,-3)代入得:a×1×(-3)=-3,
解得a=1,
∴抛物线解析式为y=(x+1)(x-3),
即y=x2-2x-3,
∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴顶点D的坐标为(1,-4);
(Ⅱ)如解图,设直线CD的解析式为y=kx+b,
把点C(0,-3),D(1,-4)代入得
,解得,
∴直线CD的解析式为y=-x-3,
当y=0时,-x-3=0,
解得x=-3,
则E(-3,0),
设P(t,t2-2t-3)(t>1),
则M(t,-t-3),F(t,0),
∴EF=t+3,PM=t2-2t-3-(-t-3)=t2-t,
而PM=EF,
∴t2-t=(t+3),
整理得5t2-7t-6=0,
解得t1=-(舍去),t2=2,
当t=2时,t2-2t-3=22-2×2-3=-3,
∴点P坐标为(2,-3);
第1题解图
(Ⅲ)当t=2时,点M的坐标为(2,-5),
设平移后的抛物线解析式为y=x2-2x-3+m,
当抛物线y=x2-2x-3+m与直线y=-x-3有唯一公共点时,
令方程x2-2x-3+m=-x-3,即x2-x+m=0有两个相等的实数解,
则b2-4ac=1-4m=0,
解得m=;
若抛物线y=x2-2x-3+m经过点M(2,-5),
则4-4-3+m=-5,解得m=-2;
若抛物线y=x2-2x-3+m经过点E(-3,0),
则9-2×(-3)-3+m=0,
解得m=-12,
∴抛物线向上最多平移个单位长度,向下最多平移12个单位长度.
2. 已知抛物线y=(x-3)2-1与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.
(Ⅰ)试求点A,B,D的坐标;
(Ⅱ)连接CD,过原点O作OE⊥CD与抛物线的对称轴交于点E,求OE的长;
(Ⅲ)以(Ⅱ)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作⊙E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标.
解:(Ⅰ)由y=0得(x-3)2-1=0,解得x1=3-,x2=3+,
又∵点A在点B的左侧,
∴A点坐标为(3-,0),B点坐标为(3+,0),
由抛物线解析式y=(x-3)2-1可得顶点D的坐标为(3,-1);
(Ⅱ)如解图①,过点D作DG⊥y轴于点G,设CD与x轴交于点F,ED交x轴于点M,
由题意可得,∠DCG+∠COF=90°,∠EOM+∠COF=90°,
∴∠DCG=∠EOM,
又∵∠CGD=∠OME=90°,
∴△CDG∽△OEM,
∴=,即=,
∴EM=2,
∴E点坐标为(3,2),
∴OE==;
(Ⅲ)如解图②,由⊙E的半径为1,由勾股定理得PQ2=EP2-1,要使切线长PQ最小,只需EP长最小,即EP2最小,
设P点坐标为(x,y),则PQ=x-3,EQ=2-y,
∴由勾股定理得EP2=(x-3)2+(2-y)2,
∵y=(x-3)2-1,
∴(x-3)2=2y+2,
∴EP2=2y+2+y2-4y+4=(y-1)2+5,
当y=1时,EP2为最小值,
将y=1代入y=(x-3)2-1,得x1=5,x2=1,
∴P点坐标为(1,1)或(5,1).
∵点P在对称轴右侧的抛物线上,
∴x2=1舍去,
∴P(5,1).
图①图②
第2题解图
=-x2-x+与x轴交于A,C两点(点A在点C的左边),直线y=kx+b(k≠0)分别交x轴,y轴于A,B两点,且除了点A之外,该直线与抛物线没有其他任何交点.
(Ⅰ)求A,C两点的坐标;
(Ⅱ)求k,b的值;
(Ⅲ)设点P是抛物线上的动点,过点P作直线y=kx+b(k≠0)的垂线,垂足为H,交抛物线的对称轴于点D,求PH+DH的最小值,并求出此时点P的坐标.
解:(Ⅰ)令y=0,即-x2-x+=0,
解得x1=-3,x2=1,
∵点A在点C的左边,∴A(-3,0),C(1,0);
(Ⅱ)把A(-3,0)代入y=kx+b,得-3k+b=0,
解得b=3k,
联立,
得-x2-x+=kx+b,即x2+(2+4k)x