文档介绍：圆锥曲线第1讲椭圆
【知识要点】
椭圆的定义
椭圆的第一定义:
平面内到两个定点、的距离之和等于定长()的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距。
注1:在椭圆的定义中,必须强调:到两个定点的距离之和(记作)大于这两个定点之间的距离(记作),否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下:
(ⅰ)当时,点的轨迹是椭圆;
(ⅱ)当时,点的轨迹是线段;
(ⅲ)当时,点的轨迹不存在。
注2:若用表示动点,则椭圆轨迹的几何描述法为(,),即.
注3:凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题,通常可利用椭圆的第一定义求解,即隐含条件:千万不可忘记。
椭圆的第二定义:
平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数()的点的轨迹叫做椭圆。
椭圆的标准方程
焦点在轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是();
焦点在轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是().
注1:若题目已给出椭圆的标准方程,那其焦点究竟是在轴还是在轴,主要看长半轴跟谁走。长半轴跟走,椭圆的焦点在轴;长半轴跟走,椭圆的焦点在轴。
注2:求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置,则可设其方程为()或();若题目未指明椭圆的焦点究竟是在轴上还是轴上,则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为(,,且).
椭圆的性质
以标准方程()为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。
范围:,;
对称性:关于轴、轴轴对称,关于坐标原点中心对称;
顶点:左右顶点分别为,;上下顶点分别为,;
长轴长为,短轴长为,焦距为;
长半轴、短半轴、半焦距之间的关系为;
准线方程:;
焦准距:;
离心率:且. 越小,椭圆越圆;越大,椭圆越扁;
焦半径:若为椭圆在第一象限内一点,则由椭圆的第二定义,有,;
通径长:.
注1:椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准线的距离。以椭圆的右焦点和右准线:为例,可求得其焦准距为.
注2:椭圆的焦点弦指的是由过椭圆的某一焦点与该椭圆交于不同两点的直线所构成的弦。椭圆的通径指的是过椭圆的某一焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是椭圆的所有焦点弦中最短的弦。设椭圆的方程为(),过其焦点且垂直于轴的直线交该双曲线于、两点(不妨令点在轴的上方),则,,于是该椭圆的通径长为.
关于椭圆的标准方程,需要注意的几个问题
(1)关于椭圆的标准方程,最基本的两个问题是:其一,当题目已指明曲线的位置特征,并给出了“特征值”(指、、的值或它们之间的关系,由这个关系结合,我们可以确定出、、的值)时,我们便能迅速准确地写出椭圆的标准方程;其二,当题目已给出椭圆的标准方程时,我们便能准确地判断出曲线的位置特征,并能得到、、的值。
椭圆的标准方程中的参数、、是椭圆所固有的,与坐标系的建立无关;、、三者之间的关系:必须牢固掌握。
求椭圆的标准方程,实质上是求椭圆的标准方程中的未知参数、。根据题目已知条件,我们列出以、为未知参数的两个方程,联立后便可确定出、的值。特别需要注意的是:若题目中已经指明椭圆的焦点在轴或轴上,则以、为未知参数的方程组只有一个解,即、只有一个值;若题目未指明椭圆的焦点在哪个轴上,则以、为未知参数的方程组应有两个解,即、应有两个值。
有时为方便解题,中心在坐标原点的椭圆的方程也可设为,但此时、必须满足条件:,,且.
点与椭圆的位置关系
点与椭圆()的位置关系有以下三种情形:
(ⅰ)若,则点在椭圆上;
(ⅱ)若,则点在椭圆外;
(ⅲ)若,则点在椭圆内;
【例题选讲】
题型1:椭圆定义的应用
1. 平面内存在一动点到两个定点、的距离之和为常数(),则点的轨迹是()
圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 椭圆或线段
解:由题意知,
(ⅰ)当时,点的轨迹是椭圆;
(ⅱ)当时,点的轨迹是线段.
故点的轨迹是椭圆或线段
已知圆:,点,是圆上任意一点,线段的中垂线和直线相交于点,则点的轨迹方程为__________.
解:圆:的圆心坐标为,半径
连接,由是直线的中垂线知,
而,
于是点的轨迹是以,为左右焦点的椭圆,其中,
,,
又该椭圆的中心为坐标原点
故点的轨迹方程为
已知点,点是圆上的一个动点,线段的垂直平分线交圆的半径于点,当点在圆周上运动时,点的轨迹方程为__________.
解:圆:的圆心坐标为,半径
连接,由是直线的垂直平分线知,
而,
于是点的轨迹是以,为左右焦点的椭圆,其中,
,,
又该椭圆的中心为的中点
故点的轨迹方程为
注:本题点的轨迹方程虽是椭圆,但该椭圆不关于坐标原点对称,而是关于点对称,其方程可由把椭圆沿轴向右平移了个单位得到。
4. 方程表示的曲线是()
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线