文档介绍：第四章线性变换
在第三章中,我们介绍了同构的概念,它研究的是线性空间与线性空间之间的一种联系. 我们研究客观事物,固然要弄清楚个体事物单个的和总体的性质,但单个事物之间的各种各样的联系则更为重要. 基于此,本章将要研究线性空间本身的向量之间的一种最为基本、最为重要的联系——线性变换. 它是线性空间到它自身的映射是几何中旋转变换、投影变换以及别的科目中类似变换的一种推广. 其应用十分广泛,是线性代数的一个主要研究对象.
在本章中,如果不特别声明,我们考虑的都是某个数域上的线性空间.
§ 线性变换及其运算
一个集合到它自身的映射,称为这个集合的一个变换. 线性变换就是线性空间到它自身的一种特殊变换. 我们给出它的定义.
1. 线性变换的概念
设是线性空间的一个变换,如果对于中任意的向量及数域中的任意数,满足:
;
.
则称是线性空间的一个线性变换.
以后我们一般用花体大写字母来表示线性变换,用或来表示向量在线性变换下的象.
说明变换仅反映元素之间的一种单纯的对应关系,而线性变换则涉及到了线性空间中向量的运算. 从定义可以看出,线性变换保持向量的加法与数乘.
设是数域上的上的线性空间,是中的某个数,定义变换如下:
.
则容易看出,是线性空间的一个线性变换.
说明1)上例中的线性变换称为由数决定的数乘变换.
2)当时,就是的恒等变换或单位变换,记为. 即将中的每个向量变为它自身.
3)当时,就是的零变换,记为. 它把中的每个向量都变为,即.
对于,变换
是的一个线性变换.
令,则是线性空间的一个线性变换.
平面上的向量构成了实数域上线性空间. 将围绕着坐标原点逆时针方向旋转角度,就是一个线性变换,我们用表示. 设平面上的向量在直角坐标系下的坐标是,那么旋转角度后的坐标按照下面的公式计算:
.
设是几何空间中某个固定的非零向量,将每个向量变到它在上的***影的变换是一个线性变换,以来表示它,即
.
其中表示内积.
设线性空间,则显然
是的一个变换,但如果取,
则,而,则. 所以,不是线性变换.
2. 线性变换的性质
线性变换具有如下的性质:
性质1 .
事实上,
又,所以.
性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变. 也就是说,
如果是的一个线性组合:
,
则经过线性变换之后,是同样的线性组合:
.
如果之间有线性关系式:
,
则它们的象之间也有同样的关系:
.
性质3线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组. 也就是说,如果线性相关,则也线性相关.
事实上,若线性相关,则在数域中存在一组不全为零的数使得
.
则由性质2与性质3得
.
从而也线性相关.
说明当线性相关时,未必是线性相关的;
当线性无关时,未必是线性无关的. 如零变换.
3. 线性变换的运算
线性变换作为映射的一种特殊情形,它当然可以定义乘法、.
设及都是数域上线性空间上的线性变换,及,现在定义:
1)线性变换的加法:;
2)线性变换的乘法:;
3)数与线性变换的数量乘法:.
、乘积及数与线性变换的乘积都还是线性变换.
证明仅证明是线性变换,其余的类似证明.
对于中任意的向量及数域上的任意数,由于都是线性变换,则结合线性变换的和的定义有
;
.
因此,是线性空间上的线性变换. 证毕.
由线性变换的加法及乘积的定义易知下述性质.
性质4 线性变换的加法满足
1)结合律:;
2)交换律:.
说明 1)零变换与任何线性变换的和仍是,即.
2)对每个线性变换,我们可以定义它的负变换:
容易看出也是线性的,且.
性质5 线性变换的乘法满足
1)结合律:;
2)对加法的左右分配律:;.
说明线性变换的乘法一般是不满足交换律的. 如在实数域上的线性空间,定义线性变换
则乘积是恒等变换,但一般却不是恒等变换.
性质6 数与线性变换的数量乘法满足下面的规律:
;
;
;
.
注线性变换所满足的全部运算规则,同矩阵所满足的运算规则完全一致. 如果用表示由数域上的线性空间的全体线性变换构成的集合,则构成数域上的一个线性空间.
设是数域上线性空间上的一个线性变换,如果存在上的一个变换,记之为,使得
,
则称为的逆变换,且称是可逆的.
说明一个线性变换未必有逆变换,如零变换就没有逆变换.
设是数域上线性空间上的一个线性变换,如果是可逆的,则其逆变换也是上的线性变