《矩阵论》Matrix Theory课件 第1章 线性空间与线性变换.pptx

文档介绍：矩阵论
课程:矩阵论(Matrix Theory)
学时: 48学时(48 Lectures)
教材:矩阵论(第2版, 杨明、刘先忠编著),
华中科技大学出版社,2005
前言
一、课程介绍
研究内容:
矩阵与线性空间和线性变换
以矩阵为工具研究问题
在其中发展矩阵理论
矩阵在各种意义下的化简与分解
矩阵的分析理论
各类矩阵的性质研究
矩阵被认为是最有用的数学工具,既适用于应用问题,又适合现代理论数学的抽象结构。
二、教学安排
学时配置
讲授第1章至第6章(48学时)
第1章:10学时; 第2章:8学时
第3章:8学时; 第4章:6学时;
第5章:8学时; 第6章:6学时
考核方式:课程结束考试(第13周)
卷面成绩为最终成绩
三、教学指导意见
背景要求:线性代数
矩阵与计算工具:MATLAB,MAPLE, …
矩阵与现代应用:应用选讲
教学参考书:
余鄂西,矩阵论,高等教育出版社,1995。
方保熔等,矩阵论,清华大学出版社,2004。
Fuzhen Zhang,Matrix Theory,Springer,1999。
Denis Serre, Matrices Theory and Applications,Springer,2002。
矩阵论历年试题及其解答
不交作业,但应该重视练****环节。
第1章:线性空间与线性变换
内容:
线性空间的一般概念
重点:空间结构和其中的数量关系
线性变换
重点:其中的矩阵处理方法
特点:
研究代数结构——具有线性运算的集合。
看重的不是研究对象本身,而是对象之间的结构关系。
研究的关注点:对象之间数量关系的矩阵处理。
学****特点:具有抽象性和一般性。
线性空间
一、线性空间的概念
几何空间和 n 维向量空间的回顾
推广思想:
抽象出线性运算的本质,在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。
(P .1)
要点:
集合V 与数域F
向量的加法和数乘向量运算
运算的性质刻画
常见的线性空间
F n={X=(x1,x2,…,xn)T:x F}
运算:向量加法和数乘向量
F mn = {A=[aij]mn:a ijF};
运算:矩阵的加法和数乘矩阵
R mn ;C mn 。
Pn [x]={p(x)= :aiR}
运算:多项式的加法和数乘
C[a,b]={f(x):f(x)在[a,b]上连续}
运算:函数的加法和数乘
eg5: V=R+,F=R, a b=ab,  a=a 
F=R或C
线性空间的一般性的观点:
线性空间的一般形式:
V(F),元素被统称为向量:, ,,
线性空间的简单性质(共性):
定理1 . 1:V(F)具有性质:
(1) V(F)中的零元素是惟一的。
(2) V(F)中任何元素的负元素是惟一的。
(3)数零和零元素的性质:
0=0,k0=0,k =0 =0 或k=0
(4) = (1)
数0
向量0
二、线性空间的基和维数
向量的线性相关与线性无关:
定义形式和向量空间Rn中的定义一样。
有关性质与定理和Rn中的结果一样。
例题1 证明C[0,1]空间中的向量组
{ex,e2x,e3x …,enx},x[0,1]
线性无关。
二、线性空间的基和维数
基与维数的概念:P . 2,定义1 . 2
常见线性空间的基与维数:
Fn,自然基{e1,e2,…,en},dim Fn =n
Rmn ,自然基{Eij},dim Rmn =mn。
Pn [x] ,自然基{1,x,x2,x3…,x n-1},dimPn [x] =n
C[a,b], {1,x,x2,x3…x n-1 …}C[a,b],
dim C[a,b]= 
约定:
V n (F)表示数域F上的 n 维线性空间。
只研究有限维线性空间。