文档介绍：平面向量数量积的物理背景及其含义
珠海市田家炳中学高一数学组
定义:
一般地,实数λ与向量a 的积是一个向
量,记作λa,它的长度和方向规定如下:
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同;
当λ<0时,λa 的方向与a方向相反;
特别地,当λ=0或a=0时, λa=0
运算律:
设a,b为任意向量,λ,μ为任意实数,则有:
①λ(μa)=(λμ) a
②(λ+μ) a=λa+μa
③λ(a+b)=λa+λb
已知两个非零向量a和b,作OA=a, OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角。
O
B
A
θ
向量的夹角
当θ=0°时,a与b同向;
O
A
B
当θ=180°时,a与b反向;
O
A
B
B
当θ=90°时,称a与b垂直,
记为a⊥b.
O
A
a
b
我们学过功的概念,即一个物体在力F的作用下产生位移s(如图)
θ
F
S
力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发,我们引入向量“数量积”的概念。
已知两个非零向量a与b,它们的
夹角为θ,我们把数量|a| |b|cosθ叫做
a与b的数量积(或内积),记作a·b
a·b=|a| |b| cosθ
定
规定:零向量与任一向量的数量积为0
注意:向量的数量积是一个数量。
向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正,什么时候为负?
思考:
a·b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ< 90°时a·b为正;
当90°<θ≤180°时a·b为负。
当θ=90°时a·b为零。
重要性质:
设
是非零向量,
方向相同的
单位向量,
的夹角,则
特别地
O
A
B
θ
a
b
B1
解:a·b = |a| |b|cosθ
= 5×4×cos120°
=5×4×(-1/2)
= -10
例1 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,求a·b。
练****br/> =0,则对任一向量b ,有a · b=0.
≠0,则对任一非零向量b ,有a · b≠0.
≠0,a · b =0,则b=0
· b=0,则a · b中至少有一个为0.
≠0,a · b= b · c,则a=c
· b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成立.
a 有
√
×
×
×
×
×
√