计算方法第6章矩阵及线性方程组.ppt

文档介绍：线性方程组的直接解法
第6章矩阵及线性方程组



线性方程组的直接解法
直接法概述
设有线线方程组Ax = b
其中
当det A 0 时,方程组的解存在且唯一,对增广矩阵(A,b)施行行初等变换,化A为上三角形矩阵,同时b化为
即:
方法1
对应的线性方程组
消元过程
从最后一个方程解得
回代过程
方法2
是直接将方程组Ax = b的系数矩阵A分解为两个形式简单的三角形矩阵L和U的乘积,即A = LU。
即:
从而求解A x = b的问题转化为解三角形方程组Ly = b和U x = y 。

则Lx =b为下三角形方程组,它的第i个方程为
假定,按的顺序解得:
上三角形方程Ux =b的第i个方程为
假定,按的顺序求解得:
Gauss消去法

设det A 0,记Ax = b的增广阵
假定 0,第一步消元是从方程组的第2至n个方程中消去未知数
0
0
为此,作如下变换
第i行元素减去第一行对应元素乘以,使第一列主对角元以下元素为零,同时有
记
整个过程可描述如下: