文档介绍：第一节等差数列与等比数列
基础知识
定义1. 按照某一法则,给定了第1个数,第2个数,………,对于正整数有一个确定的数,于是得到一列有次序的数我们称它为数列,用符号表示。数列中的每项称为数列的项,第项称为数列的一般项,又称为数列的通项。
,称这个数列为有限数列;当一个数列的项数为无限时,则称这个数列为无限数列。
,如果从第2项起,每一项都不小于它的前一项,即,这样的数列称为递增数列;如果从第2项起,每一项都不大于它的前一项,即,这样的数列称为递减数列。
,即,其中是某一个正数,则称这样的数列为有界数列,否则就称为是无界数列。
,项数与具有如下的函数关系:,则称这个关系为数列的通项公式。
,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母表示。
等差数列具有以下几种性质:
(1)等差数列的通项公式:或;
(2)等差数列的前项和公式:或;
(3)公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数;
(4)公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数;
(5)设是等差数列,则(是常数)是公差为的等差数列;
(6)设,是等差数列,则(是常数)也是等差数列;
(7)设,是等差数列,且,则也是等差数列(即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列);
(8)若,则;特别地,当时,;
(9)设,,,则有;
(10)对于项数为的等差数列,记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和,则,;
(11)对于项数为的等差数列,有,;
(12)是等差数列的前项和,则;
(13)其他衍生等差数列:若已知等差数列,公差为,前项和为,则
①.为等差数列,公差为;
②.(即)为等差数列,公差;
③.(即)为等差数列,公差为.
,如果有一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于现中一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做公比;公比通常用字母表示(),即。
等比数列具有以下性质:
(1)等比数列的通项公式:或;
(2)等比数列的前项和公式:;
(3)等比中项:;
(4)无穷递缩等比数列各项公式:对于等比数列的前项和,当无限增大时的极限,叫做这个无穷递缩数列的各项的和,记为,即;
(5)设是等比数列,则(是常数),仍成等比数列;
(6)设,是等比数列,则也是等比数列;
(7)设是等比数列,是等差数列,且则也是等比数列(即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列);
(8)设是正项等比数列,则是等差数列;
(9)若,则;特别地,当时,;
(10)设,,,则有;
(11)其他衍生等比数列:若已知等比数列,公比为,前项和为,则
①.为等比数列,公比为;
②.(即)为等比数列,公比为;
典例分析
,项数不小于3,且各项之和为972,则这样的数列有_____________个。
解:设等差数列的首项为,公差为。由已知有,即。又因为,所以只可能取,又因为且均为整数,故;
若,由于为正数,则