文档介绍：函数对称性的探究
函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,,函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,.
一、函数自身的对称性探究
=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b.
证明:(必要性)设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点,∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P′(2a-x,2b-y)也在y=f(x)图像上,∴2b-y=f(2a-x).
即y+f(2a-x)=2b,故f(x)+f(2a-x)=2b,必要性得证.
(充分性)设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点,则y=f(x).
∵f(x)+f(2a-x)=2b,∴f(x)+f(2a-x)=2b,即2b-y=f(2a-x).
故点P′(2a-x,2b-y)也在y=f(x)的图像上,而点P与点P′关于点A(a,b)对称,充分性得征.
推论:函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(-x)=0.
=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x).(证明留给读者)
推论:函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(-x).
定理3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期.
②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期.
③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期.
①②的证明留给读者,以下给出③的证明:
∵函数y=f(x)图像关于点A(a,c)成中心对称,
∴f(x)+f(2a-x)=2c,用2b-x代x得:
f(2b-x)+f[2a-(2b-x)]=2c………………(*)
又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称,
∴f(2b-x)=f(x)代入(*)得:
f(x)=2c-f[2(a-b)+x]…………(**),用2(a-b)-x代x得
f[2(a-b)+x]=2c-f[4(a-b)+x]代入(**)得:
f(x)=f[4(a-b)+x],故y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期.
二、不同函数对称性的探究
=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点A(a,b)成中心对称.
定理5.①函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a成轴对称.
②函数y=f(x)与a-x=f(a-y)的图像关于直线x+y=a成轴对称.
③函数y=f(x)与x-a=f(y+a)的图像关于直线x-y=a成轴对称.
定理4与定理5中的①