13.3（高等代数）.ppt

文档介绍：双线性函数
设V 是数域K 上的线性空间,f (,)是V
上的一个二元函数,即对任意,V,根据f 唯一对应
K 中一个数 f (,). 若f (,) 满足:
(1) f (,k11+k22)=k1f (,1)+k2f (,2);
(2) f (l11+l22,)=l1f (1,)+l2f (2,)
其中1, 2, , 1, 2, V, k1, k2, l1, l2 K,则称f (,)
为V 上的一个双线性函数.
例在线性空间Knn上定义二元函数
f (X,Y)=tr(XTAY), X,YKnn, A Knn取定.
则对任意Y1,Y2Knn和k1, k2 K, 有
f (X, k1Y1+k2Y2)=tr(XTA(k1Y1+k2Y2))=tr(k1XTAY1+k2XTAY2)
=k1tr(XTAY1)+k2tr(XTAY2)
=k1f (X,Y1)+k2f (X,Y2),
同理可导出另一式. 从而f (X,Y)是Knn上的双线性函数.
例由欧式空间V 的内积定义的二元函数
f (,)=(,), ,V
是V 的双线性函数.
设1, 2,,n 是数域K 上的n 维线性
空间V 的一个基,aij(i,j=1,2,,n)是K 中任意n2个数,
则存在V 上唯一的双线性函数f (,),
f (i, j)=aij (i,j=1,2, ,n).
设f (,)是数域K 上n 维线性空间V 的一
个双线性函数, 1, 2,,n 是V 的一个基,称矩阵
为f (,)在基1, 2,,n 下的度量矩阵.
结论:取定V 的一个基1, 2,,n ,每个双线性函
数都对应唯一一个n 阶方阵——度量矩阵. 反之,任
给数域K 上一个n 阶方阵A=(aij)nn, 对V 中任意元素
=x11+x22++xnn和=y11+y22++ynn ,
定义
其中 x=(x1,x2, ,xn)T, y=(y1,y2, ,yn)T, 则f (,) 是双
线性函数,A是f (,)在基1, 2,,n 下的度量矩阵.
例已知线性空间R22的双线性函数
f (X,Y)=tr(XTGY), X, YR22,
求 f 在R22的基E11, E12, E21, E22下的度量矩阵.
解因为
f (E11,E11)=tr(E11TGE11)=g11, f (E11,E12)=tr(E11TGE12)=0
f (E11,E21)=tr(E11TGE21)=g12, f (E11,E22)=tr(E11TGE22)=0
同理可求得
f (E12,E11)=0, f