文档介绍：张量分析学习
技术中心(王金云)
张量分析
在三维空间,一个矢量(例如力矢量、速度矢量等)在某参考坐标系中,有三个分量;这三个分量的集合,规定了这个矢量;当坐标变换时,这些分量按一定的变换法则变换。
在力学中还有一些更复杂的量。例如受力物体内一点的应力状态,有9个应力分量,如以直角坐标表示,用矩阵形式列出,则有:
这9个分量的集合,规定了一点的应力状态,称为应力张量。当坐标变换时,应力张量的分量按一定的变换法则变换。
所谓张量是一个物理量或几何量,它由在某参考坐标系中—定数目的分量的集合所规定,当坐标变换时,这些分量按一定的变换法则变换。
张量有不同的阶和结构,这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。矢量是一阶张量;应力张量、应变张量是二阶张量;还有三阶、四阶等高阶张量。张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方法。采用张量记法表示的方程,在某一坐标系中成立,则在容许变换的其他坐标系中也成立,即张量方程具有不变性。张量是佛克脱(WVoigt) 提出(用来表示晶体的应力(张力)状态)。
符号与求和约定
指标
变量的集合:
表示为:
写在字符右下角的指标,例如xi中的i称为下标。写在字符右上角的指标,例如yj 中的j称为上标;使用上标或下标的涵义是不同的。
用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母,除非作了说明,一般取从1到n的所有整数,其中n称为指标的范围。
B) 求和约定
若在一项中,同一个指标字母在上标和下标中重复出现,则表示要对这个指标遍历其范围1,2,3,…n求和。这是一个约定,称为求和约定。
例:三维空间的平面方程为:
式中 p 是常数。这个方程可写成:
应用求和约定,则这个方程可写成如下形式:
遍历指标的范围求和的重复指标称为哑指标或跑标。不求和的指标称为自由指标。
注:哑指标只是表示求和。在一项中,同一个指标字母的使用不能超过两次。
求和约定可以推广到微分公式:
设 f() 为n个独立变量的函数,则它的微分可写成:
中 i被认为是下标。
C) 克罗内克(Kronecker)符号
克罗内克符号的定义是:
克罗内克符号也可写成.
例:空间直角坐标系中,线元矢量长度的平方为:
利用克罗内克符号,上式可写成:
克罗内克符号的一些常用性质:
D) 置换符号
置换符号定义为:
i,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。
置换符号主要可用来展开三阶行列式:
若以表示行列式中的普遍项,以表示行列式,
则上述行列式可写成:
E) 克罗内克符号与置换符号的关系
基矢量
在曲线坐标系中,空间一点的位置矢量r是曲线坐标的函数,则:
空间一点P的位置矢量可用直角坐标表示为:
式中为沿坐标轴方向的单位矢量。
上式表明是单位矢量的线性组合,因此也是矢量。
表征当变化时位置矢量r的变化,因此的方向是沿坐标曲线的切线方向。矢量可以取作曲线坐标系的基矢量(协变基矢量):
注意:
对于在曲线坐标系中的每一点,都有三个基矢量。
基矢量一般不是单位矢量,彼此也不正交;
基矢量可以有量纲,但一点的三个基矢量的量纲可以不同;
基矢量不是常矢量,它们的大小和方向依赖于它们所在点的坐标。
作用在一点的任意矢量V,可以沿的方向按平行四边形法则分解:
坐标变换时,—个量的分量的变换法则是该量的重要性质。
若坐标系变换成另一新坐标系
逆变换为:
则在新坐标系中的基矢量为
可知:若坐标系由变换为,则基矢量按上述变换法则变换。基矢量也称为协变基矢量。
基本度量张量
对于任何坐标系,首先必须知道在该坐标系中如何度量长度。
在曲线坐标系中,线元矢量长度的平方为下式。
定义:
称为坐标系的基本度量张量。
在三维空间,基本度量张量有9个分量。
若坐标系变换成另一新坐标系
逆变换为:
则在新坐标系中的基矢量为
gij的特性:
1) 度量空间线元的长度(称为度量);
2)当坐标变换时,它按照一特定的变换法则变换,这是张量的基本特性;
因此称为度量张量,这是一个非常重要的基本张量,又称为基本度量张量。
对偶基矢量、相伴度量张量
指标
对偶基矢量(逆变基矢量)gi 由下式定义:
在三维空间中, g1 、 g2 、 g3 分别垂直于(g2,g3)、(g1,g3) 及(g1,g2)所在的平面。
B) 相伴(共轭)度量张量
将对偶基矢量沿基矢量的方向分解:
式中是对偶基矢量在方向的分量,共有9个,称为相伴度量张量,或共轭度量张量.
协变基矢量和逆变基矢量之间可以通过度量张量和相伴度量张量变换,提升或下降指标。
C) 矢量