文档介绍：垂直于弦的直径
赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长),拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高),求桥拱的半径().
O
A
B
垂直于弦的直径
———(垂径定理)
1、举例什么是轴对称图形。
如果一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形。
2、举例什么是中心对称图形。
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形。
3、圆是不是轴对称图形?
圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
复****br/>实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?
可以发现:
圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.
●O
如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.
(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?
(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?为什么?
·
O
A
B
C
D
E
思考
(1)
(2) 线段: AE=BE
⌒
⌒
弧:AC=BC ,AD=BD
⌒
⌒
已知:在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CD⊥AB,垂足为E(如图)。
求证:AE=BE ,
︵
AC
︵
BC
=
︵
AD
︵
BD.
=
,
O
C
D
E
B
A
证明:
连结OA、OB,
∵ OA=OB,CD⊥AB
∴直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴,又是⊙O的对称轴. 则A点与B点重合,AE和BE重合,
︵
AC
︵
BC
和
︵
AD
︵
BD
和
也重合.
∴AE=BE ,
︵
AC
︵
BC
=
︵
AD
︵
BD.
=
,
C
A
E
B
O
.
D
想一想:
垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦对的两条弧。
CD为⊙O的直径
CD⊥AB
条件
结论
⌒
⌒
⌒
⌒
AE=BE
AC=BC
AD=BD
·
O
A
B
C
D
E
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
题设
结论
(1)直径
(2)垂直于弦
}
{
(3)平分弦
(4)平分弦所对的优弧
(5)平分弦所对的劣弧
① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
③AE=BE,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
⌒
⌒
④AC=BC,
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理三种语言
定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
条件
CD为直径
CD⊥AB
CD平分弧ADB
CD平分弦AB
CD平分弧ACB
结论