文档介绍：第四章数值微积分
Newton-Cotes 型求积公式
复化求积公式
Gauss 型求积公式
数值微分
内容讲解安排
1. 目的意义:掌握积分与微分的数值计算方法
2. 重点:梯形积分公式、抛物线积分公式、
Gauss积分公式、数值微分
3. 难点: Gauss积分公式与程序设计
4. 内容分配:
第7次:等距节点积分公式及梯形公式、抛物线公式
第8次:复化梯形公式
第9次:Gauss型积分公式的理论推导
第10次:Gauss型积分公式的应用及数值微积分
§1. 引言
求函数在给定区间上的定积分,在高等数学教程中已给出了许多有效的方法。但在实际问题中,往往仅给出函数在一些离散点的值,它的解析表达式没有明显的给出;或者,虽然给出解析表达式,但却很难求得其原函数。
这时,我们就需要利用函数在这些节点上的信息求出函数积分的近似值,由此,导出了数值积分的概念和方法。
关于积分
如果已知 f(x)=F’(x) ,
则根据牛顿-莱布尼兹公式可以得到:
但是,在计算中会遇到以下情况:
都不宜直接用Newton-Leibniz公式计算。这时可以考虑近似求解。
1).原函数无法求出,如:
2).y=f(x)由离散数据给出(xi,yi) , i=0,1, …, n
3).F(x)可以求出,但太复杂,如
采用近似解法或数值解法的思想是先找出被积函数 f(x) 的近似函数 p(x) , 即:
则可以得到:
本章,我们将给出两种计算方法:
1).等距节点的牛顿-柯特斯型求积公式。
2).非等距节点的高斯型求积公式。
§2. Newton-Cotes型求积公式
则可以构造出n次Lagrange插值多项式:
相应的函数值为:yk=f(xk), k=0,1,2,…,n
对于定积分
将区间[a,b]n 等分,节点为:
对 f(x)=Ln(x)+Rn(x) 两端在[a,b]上积分,得到:
令:
忽略Rn[f]便可以得到积分的近似表达式:
误差为:
为了给出具体计算公式,令
则由 xi=a+ih, xk=a+kh 得到
从而
误差由:
及x=a+th, xk=a+kh 得到
令:
则得定积分的近似计算公式:
这时: