文档介绍：
本节课目标
理解线段的垂直平分线的概念;
掌握轴对称的“对称轴是对应点所连线段的垂直平分线”等性质;
掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.
概念复****br/>轴对称图形的概念是什么?
两个图形轴对称的概念是什么?
A
C
B
A’
B’
C’
N
M
思考:如图,△ABC与△A‘B’C‘关于直线MN对称,点A’,B’,C’分别为点ABC的对称点,线段AA’,BB’,CC’与直线MN有什么关系?
P
∠MPA=∠MPA’=90°
AP=PA’
对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线
A
C
B
A’
B’
C’
N
M
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
l
A‘
A
轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
猜想: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点.
试找出PA和PB的关系.
A
C
B
P
M
N
A
C
B
P
M
N
已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点.
求证:PA=PB.
证明:∵MN⊥AB, ∴∠PCA=∠PCB=90°
在△APC与△BPC中
PC=PC(公共边)
∠PCA=∠PCB(已证)
AC=BC(已知) ∴△PCA≌△PCB(SAS) ;
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).
这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).
如果有一个点到线段两个端点的距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上.
即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
如果把这个命题反过来说,还成立吗?
你能证明这个结论吗?
已知:线段AB,点P是平面内一点且PA=PB.
求证:P点在AB的
垂直平分线上.
证明:过点P作已知线段AB的垂线PC,∴∠PCA=∠PCB=90°
在Rt△PAC≌Rt△PBC中 PA=PB,
PC=PC(公共边),
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)
C
B
P
A
∴AC=BC(全等三角形对应角相等)
即,P点在AB的垂直平分线上
证法二:
取AB的中点C,连接P,C
∵△APC与△BPC中
∵ AP=BP
PC=PC
AC=CB
∴△APC≌△BPC(SSS)
B
P
A
已知:线段AB,点P是平面内一点且PA=PB.
求证:P点在AB的垂直平分线上.
一题多解
C
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等).
又∵∠PCA+∠PCB=180° ∴∠PCA=∠PCB=∠90°即PC⊥AB
∴P点在AB的垂直平分线上