文档介绍：周期性
对于函数 f (x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有,那么 f (x)就叫做周期函数. 叫做这个函数的周期.
也是 f (x)的周期,即有.
f (x+k T)=f (x)
f (x+T)=f (x)
T
kT(k∈ Z ,k≠0)
第四课时函数的周期性
根据定义,若f(x)为周期函数,且f (x1)=f (x2),则它的一个周期T=|x1-x2|
A
定义法
【变式练****2】
已知函数f(x)(x∈R)的图象经过原点,且f(x+2)=f(x+6),求f(2012)的值.
【解析】令u=x+2,得x=u-2,
则f(u)=f(u+4),所以函数f(x)的周期为3.
依题意,f(0)=0,且2012=503×4,
所以f(2012)=f(0)=0.
换元法
定义法
【学生展示1】已知定义在 R 上的奇函数 f (x)满足 f (x+2) = -f (x),求 f (2012)的值.
【解释】∵f (x+2)=-f (x),
∴f (x+4)=-f (x+2).
∴f (x+4)=f (x).
∴f (x)是周期函数,周期为4.
∴f (2012)=f (4×503)=f (0).又f (x)是R上的奇函数,∴f (0)=0.∴f (2012)=0.
【变式题:】已知定义在 R 上的奇函数 f (x)满足
, 求 f (2012)的值.
【学生展示2】定义在 R 上的函数y=f (x),满足
f (x+1)+f (x)=0,且在区间[-1,0]上单调递增,
设a=f ( ),b=f (2),c=f (3),则( )
c<a<b B. b<c<a
C. c<b<a D. a<b<c
【答案】 A
f (x)是周期为2的周期函数.
∴a=f ( )=f ( -2),
b=f (2)=f (0),
c=f (3)=f (-1).
又f (x)在区间[-1,0]上单调递增,∴c<a<b.
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考点
函数周期性的判断及其应用
【名师示范1】函数 f(x)的定义域为 R ,
且 f (x)与f (x+1)都是奇函数,则 f (x)的周期是.
分析求周期即求满足 f(x +T)= f (x)的T值.
(定义法) ∵f (x)及f (x+1)都是奇函数,
∴f (-x)=-f (x) ①
f (-x+1)=-f (x+1) ②
由②得f [-(x-1)]=-f (x-1)=-f (x+1),
即f (x-1)=f (x+1) ③
∴f(x)的周期为2.
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(换元法) ∵f (x)及f (x+1)都是奇函数,
∴f (-x)=-f (x) ①
f (-x+1)=-f (x+1) ②
设t=-x+1,则x=1-t由②得f (t)=-f (2-t),
即f (-t)=f (2-t) ③
∴f(x)的周期为2.