文档介绍：LTI系统基本性质。
本章主要内容:
LTI系统的时域分析——卷积积分与卷积和。
卷积的性质。
信号的时域分解——用表示离散时间信号; 用表示连续时间信号。
第二章线性时不变系统与卷积运算
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引言( Introduction )
基本思想:若能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合,那么只要得到了LTI系统对基本信号的响应,就可以利用系统的线性特性,将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合。
利用LTI系统满足齐次性和可加性,并且具有时不变性的特点,为建立信号与系统分析的理论与方法奠定基础。
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问题的实质:
以什么信号作为构成任意信号的基本信号;
如何用基本信号的线性组合来构成任意信号;
如何得到LTI系统对基本信号的响应。
基本信号应满足以下要求:
本身尽可能简单,并且用它的线性组合能够表示尽可能广泛的其它信号;
LTI系统对这种信号的响应易于求得。
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如果解决了信号分解的问题,即:若有
则
将信号分解可以在时域进行,也可以在频域或其它变换域(例如拉普拉斯变换、Z变换、小波变换等)进行,相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、频域分析法和S域分析法、Z域分析法、小波域分析法,等等。
分析方法:
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离散时间LTI系统:卷积和
一. 用单位脉冲表示离散时间信号
(Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum)
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0
单位脉冲序列
回顾:
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具有提取信号中某一点的样值的作用。
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对任何离散时间信号x[n],如果每次从其中取出一个点,就可以将信号拆开来,每次取出的一个点都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。
于是有:
单位脉冲序列的筛选性质:
任何信号x[n]都可以被分解成加权、移位的单位 脉冲信号的线性组合。
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二、离散时间LTI系统的单位脉冲响应
LTI
x[n]=[n]
y[n]=h[n]
单位脉冲响应 h[n] :LTI 系统对单位脉冲信号[n]
的响应:
[n] → h[n]
为什么需要h[n]?
根据[n]的筛选特性,任意x[n]可以表示为[n] 的延迟线性组合
根据LTI系统的线性性质,对应的y[n]就是h[n] 的延迟线性组合
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三、离散时间LTI系统对任意输入信号的响应:卷积和
LTI
x[n]
y[n]=?
Solution:
Question:
已知: [n] h[n]
由时不变性: [n-k] h[n-k]
由齐次性: x[k][n-k] x[k] h[n-k]
系统对输入信号x[n]的响应y[n]是一系列经延迟的单位脉冲响应的线性组合。
最后由可加性可得:
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卷积和(简称卷积)
记为:
--- 卷积和
因此,单位脉冲响应h[n]可以完全刻画一个LTI系统
的所有性质。
根据卷积和公式,由单位脉冲序列的筛选性质可得:
-------任意信号和[n]卷积等于其自身
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