第二节 相似矩阵.ppt

文档介绍：相似矩阵与矩阵的对角化
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一、相似矩阵的概念和性质

对于n阶方阵A和B,若存在n阶可逆方阵P,使得
则称A与B 相似,记为
矩阵的“相似”关系具有以下特性:
(1)反身性:
(2)对称性:
证
(3)传递性:
证
相似的矩阵必等价,即
若,则.
2
相似矩阵的性质:

相似矩阵有相同的特征多项式,从而特征值相同.
证
推论1 相似矩阵的行列式相等;
推论2 相似矩阵的迹相等;
推论3 若矩阵A与一个对角阵
相似,
3
注意:
特征值相同的矩阵不一定相似.
但它们不相似,
因为对任意可逆阵P,
即与 E 相似的矩阵只有它自己。
相似矩阵的其它性质:
相似矩阵的秩相等;
若P,Q为可逆矩阵,则有
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A ,B 同为可逆或不可逆,可逆时它们的逆矩阵及伴随矩阵也分别相似。
只证(3),其余证明留作练****br/>(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
为常数)
5
例1
解
6
推论1 如果矩阵A的特征值互不相同,则A必可对角化.
因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
注意: 这个条件是充分的而不是必要的.
如果A的特征方程有重根,此时不一定有n个线性无关的特征向量,从而矩阵A不一定能对角化;但如果能找到n个线性无关的特征向量, A还是能对角化.
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n阶矩阵A可对角化的步骤:
(1)求出的所有不同根(即的全部特
征值) ,其重数依次为;
(2)对每一特征值,解方程组得基础
解系;
(3)若存在,则A不能对角化. 否则A可对角
化,以这些基础解系的向量为列
构成矩阵,则P可逆且
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