文档介绍：一道课本****题的推广与应用
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人教社高中课标版数学必修2第111页B组第6题:
用信息技术工具画出直线,并在平面上取若干点,度量它们的坐标,将这些点的坐标代入,求它的值,观察有什么规律。
经过实际取点,计算、观察易到下列结论:
①位于直线上的点的坐标使得的值等于零;
②位于直线同一侧的点的坐标使得的值同号;
③位于直线不同侧的点的坐标使得的值异号。
一、推广
一般地,直线把平面分成三个部分,即直线与直线的两侧区域。则有结论:
①直线上的点的坐标使得的值等于零;
②直线同一侧的点的坐标使得的值同号;
③直线不同侧的点的坐标使得的值异号。
这样一来,对于平面上的任意两点、
⑴、都在直线上且;
⑵、在直线的同侧;
⑶、在直线的异侧;
⑷线段与直线有公共点。
证明:⑴显然;
⑵、(3)的证明不妨设,过P、Q分别作、平行于y轴,并交直线于、
Q
P
Q
P
Q
P
图1(P、Q在直线的同侧) 图2(P、Q在直线的异侧)
易得,
由图1知,、在直线的同侧与同号
即与同号
;
由图2知,、在直线的异侧与异号
即与异号
;
综合(1)与(3)易知(4)成立。
二、应用
例1、已知点和,直线过点且与线段AB相交,则的斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
解设直线,即
依题意知,线段AB与直线有公共点,所以由结论(4)得
,解得
例2、设点和,直线与线段AB没有公共点,求t的取值范围。
解:依题意可知、在直线的同一侧,所以由结论⑵得,得。
例3 (2002年北京高考)若直线与直线的交点位于第一象限,则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
解直线交x轴于点,交y轴于点,依题意, 、在直线的不同侧,由结论(3)得,得,所以倾斜角的范围为。
三、练****br/>,则实数的取值范围是( C )
A. B. C. D.
2. 若点和,过点的直线与线段有交点,求直线的斜率的取值范围。
,求的取值范围。
、,直线与线段有公共点,求的取值范围。