文档介绍：利用直角坐标系计算二重积分
小结思考题作业
利用极坐标系计算二重积分
double integral
二重积分的换元法
﹡
第二节二重积分的计算法
第八章重积分
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本节介绍计算二重积分的方法:
二重积分化为
累次积分(即两次定积分).
二重积分的计算法
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(1) 积分区域为:
其中函数
X-型
在区间上连续.
二重积分的计算法
一、利用直角坐标系计算二重积分
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计算截面面积
( 红色部分即A(x0) )
*
二重积分的计算法
以D为底,
以曲面
为顶的曲顶柱体的体积.
应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.
用二重积分的几何意义说明其计算法
是区间
为曲边的曲边梯形.
为底,
曲线
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是区间为底,
曲线为曲边的曲边梯形.
有:
*
二重积分的计算法
先对y后对x的二次积分
称为
累次积分.
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(2) 积分区域为:
Y-型
先对x后对y的二次积分
也即
二重积分的计算法
其中函数
在区间
上连续.
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特殊地
如D是上述矩形域,
得
即等于两个定积分的乘积.
注
D为矩形域:
则
则
a≤x≤b,c≤y≤d
二重积分的计算法
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穿过区域且平行于y轴的直线
穿过区域且平行于x轴的直线
a
b
d
c
计算结果一样.
又是Y型:
(3)积分区域D既是X型:
X型区域的特点:
Y型区域的特点:
与区域边界相交不多于两个交点.
与区域边界相交不多于两个交点.
但可作出适当选择.
二重积分的计算法
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(4) 若区域如图,
在分割后的三个区域上分别使用积分公式.
(用积分区域的可加性质)
D1、D2、D3都是X型区域
则必须分割.
二重积分的计算法
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例
解
积分域既是X型又是Y型
法一
所围平面闭区域.
两曲线的交点
二重积分的计算法
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