.南航《矩阵论》第5章Hermite矩阵与正定矩阵.ppt

文档介绍：第5章 Hermite矩阵与正定矩阵
Hermite矩阵与Hermite二次型
Hermite矩阵的特征值*
矩阵不等式
Hermite正定(非负定)矩阵
Hermite矩阵与Hermite二次型
Hermite矩阵
矩阵的惯性
Hermite二次型
Hermite矩阵
Hermite矩阵具有如下简单性质:
(1) 如果 A是Hermite矩阵,则对正整数 k,Ak 也是
Hermite矩阵;
(2) 如果 A是可逆Hermite矩阵,则A-1 是Hermite矩阵;
(3) 如果 A,B是Hermite矩阵,则对实数k,p, kA+pB 是
Hermite矩阵;
若A,B是Hermite矩阵,则 AB是Hermite矩阵的
充分必要条件是AB = BA;
(5) A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意方阵 S,
SH AS是Hermite矩阵。

设 A为n 阶Hermite矩阵,则
(1) A的所有特征值全是实数;
(2) A的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的。
设,则 A是Hermite矩阵的充分
必要条件是存在酉矩阵U使得
设,则 A是实对称矩阵的充分
必要条件是存在正交矩阵Q使得
矩阵的惯性
设 A是n 阶Hermite矩阵,则 A相合于矩阵
其中 r = rank(A),s是 A的正特征值(重特征值按
重数计算)的个数。
()中矩阵称为n 阶Hermite矩阵 A的相合标准形。
(Sylvester惯性定律) 设 A,B是n 阶Hermite
矩阵,则 A与B相合的充分必要条件是
Hermite二次型
则 A为Hermite矩阵。称矩阵A为Hermite二次型的
矩阵,并且称 A的秩为Hermite二次型的秩。
记
利用Hermite二次型的矩阵,Hermite二次型可
表示为
设P是n阶可逆矩阵,作线性变换x = Py,则
Hermite二次型中最简单的一种是只包含平方
项的二次型
称形如()的二次型为Hermite二次型的
标准形。
对Hermite二次型 f (x) = xHAx,存在酉
线性变换x = Uy(其中U是酉矩阵)使得Hermite
二次型f (x)变成标准形
对Hermite二次型 f (x) = xHAx,存在可逆
线性变换x = Py 使得Hermite二次型f (x)化为
其中 r = rank(A),s = π(A).
。