文档介绍：规划模型专题二
非线性规划、动态规划与多目标规划
第一部分非线性规划
前面有老师介绍了线性规划问题,典型的问题“下料问题”、“运输问题”等,这些问题都比较简单。但实际中的问题不仅仅是简单的线性规划问题,可能是比较繁杂的非线性规划问题。
下面我们从一个竞赛题目出发,以理解非线性规划的定义、建模过程及其求解过程。
在约1万米的高空的某边长为160km的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞行,区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时,计算机记录其数据后,要立即计算并判断是否会发生碰撞。若会发生碰撞,则应计算如何调整各架飞机(包括新进入的飞机)飞行的方向角,以避免碰撞,且使飞机的调整的幅度尽量小,
例1 1995年全国数学建模A题:飞行管理问题
一、例题讲解
该题比较有意思的一句话是:
“使调整弧度最小”
开放性的一句话,没有限制得很死,较灵活,
给参赛者的创新空间比较大一些,使得构建模型
的目标函数表现形式很多,再加上模型求解方法(算法)的多样性,从而可以呈现出五花八门的论文。
不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km;
假设条件:
飞机飞行的方向角调整幅度不应超过;
(因飞机飞行的速度变化不大)所有飞机的飞行
速度 v 均为800km/h;
有时需要通过查阅文献、资料给出合理假设
注:
进入该区域的飞机在到达区域边缘时,与区域内
飞机的距离应在60km以上;
最多需考虑六架飞机;
不必考虑飞机离开此区域后的状况。
根据当年竞赛题目给出的数据,可以验证新进入的飞机与区域内的飞机的距离超过60公里。
根据当年竞赛题目给出的数据,可以验证区域内的飞机不超过架(包括新进入的)。
个人的想法不同,队友之间争执不下的情况下,若时间允许,都可一一写到论文中去,建立的模型一、模型二……;或者经讨论后,选择一个认为更合理的。费时较多的是计算(那时侯是自己编程解NLP)
现在看来,无论是构建模型,还是计算,都不太难。
本例题未给出数据,将重点放在如何构建模型上
解:
(1)不考虑飞机的尺寸,用点代表飞机;
(2)已在区域内的5架飞机按给定的方向角作
直线飞行,则必不会碰撞,也不会发生
意外;(应该根据题目中所给出的数据简
单的验证一下)
(3)飞机调整方向角的过程可在瞬间完成,(不
计调整方向所花费的时间)。
为解决该问题,补充假设:
变量、参数的符号假设(为了建模)
在区域内飞行
飞
时间(可以根据数据算出来)
四种情况:
四个象限,易用4个表达式表示
说明:用初等数学的知识即可完成,
思考:在哪个时间段某两架飞机可能相撞?
In fact, 我们只需考虑两架飞机同时在区域内
飞行时的情况,也就是说,
才是同在区域内的状况。
记为