文档介绍：2010线性代数期末试题及参考答案
一、判断题(正确填T,错误填F。每小题2分,共10分)
1. A是n阶方阵,,则有。( )
2. A,B是同阶方阵,且,则。( )
,则的行向量组与的行向量组等价。( )
,则当时,一定不相似。( )
,则也线性相关。( )
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
,(      )不是初等矩阵。
(A) (B) (C) (D)
,则下列向量组中线性无关的是( )。
(A) (B)
(C) (D)
,且。则( )
(A) (B) (C) (D)
,则有( )。
(A)若,则有无穷多解;
(B)若,则有非零解,且基础解系含有个线性无关解向量;
(C)若有阶子式不为零,则有唯一解;
(D)若有阶子式不为零,则仅有零解。
,B有共同的特征值,且各有n个线性无关的特征向量,则( )
(A)A与B相似(B),但|A-B|=0
(C)A=B (D)A与B不一定相似,但|A|=|B|
三、填空题(每小题4分,共20分)
1. 。
,且满足3,则=______, 。
,,,是线性(填相关或无关)的,它的一个极大线性无关组是。
4. 已知是四元方程组的三个解,其中的秩=3,,,则方程组的通解为。
,且秩(A)=2,则a= 。
四、计算下列各题(每小题9分,共45分)。
+B=AB,且,求矩阵B。
,而,求。
,求a以及方程组的通解。
5. A,B为4阶方阵,AB+2B=0,矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。(1)求矩阵A的特征值;(2)A是否可相似对角化?为什么?;(3)求|A+3E|。
(每题5分,共10分)。
,是反对称矩阵,是否为对称矩阵?证明你的结论。
,且的秩为n,判断是否为正定阵?证明你的结论。
线性代数试题解答
一、
1.(F)()
2.(T)
3.(F)。如反例:,。
4.(T)(相似矩阵行列式值相同)
5.(F)
二、
。初等矩阵一定是可逆的。
。A中的三个向量之和为零,显然A线性相关; B中的向量组与,,等价, 其秩为3,B向量组线性无关;C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合,C、D中的向量组线性相关。
。由,
)。
。A错误,因为,不能保证;B错误,的基础解系含有个解向量;C错误,因为有可能,无解;D正确,因为。
。A正确,因为它们可对角化,存在可逆矩阵,使得,因此都相似于同一个对角矩阵。
三、1. (按第一列展开)
2. ;(=)
3. 相关(因为向量个数大于向量维数)。。因为,。
4. 。因为,原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量,取为,由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。
5.(
四、
:。将与组成一个矩阵,用初等行变换求。
=
。故。
解法二:。
,因此。
:,,