文档介绍：2011考研冲刺班概率论与数理统计讲义
主讲:姚孟臣
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目录
一、概率论部分 1
1.“几何概型”问题 1
2.“图解法”问题 3
3.“事件独立性”问题 5
4.“全概公式”问题 5
5.“事件关系与运算”问题 8
6.“协方差与相关系数”问题 8
7.“独立与相关”问题1 9
8.“独立与相关”问题2 (既不相关又不独立总结) 10
9.“结论”问题 11
10.“几何分布”问题 13
11.“正态分布几个结论”问题 14
12.“离散型”问题 16
二、数理统计部分 18
1. 点估计:矩法、最大似然法 18
2. 区间估计与假设检验 20
两部分:概率和统计
配套讲义《概率论与数理统计讲义(提高篇)》
解题步骤:
①正确理解题意②分析考核点(重点,涉及) ③适当选择方法④作题格式
一、概率论部分
1.“几何概型”问题
例1 在长l的线段AB上任意投掷两个质点M和N,则点A离点M比离点N近的概率为( )
A. B. C.
解事件A={点A离点M比离点N近},并且设|AM|=x,|AN|=y,则0≤x≤l,0≤y≤l,因此
Ω={(x,y)|0≤x≤l,0≤y≤l}, A={(x,y)|0≤x≤y≤l},
故选择C.
例2 设平面区域D是由x=1,y=0,y=x所围成,今向D内随机地投入10个点,求这10个点中至少有2个点落在由曲线y=x2与y=x所围成的区域D1内的概率.
:,有
第二步:设X={落入D1内的点数},有于是
P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)
例3 设随机变量X和Y的联合分布在正方形G={(x,y):1≤x≤3,1≤y≤3}上均匀分布,试求随机变量U=|X-Y|的概率密度p(u).
解由条件知X和Y的联合密度为
以F(u)=P(U≤u)(-∞<u<∞)表示随机变量U的分布函数.
显然,当u≤0时,F(u)=0;当u≥2时,F(u)=1.
设0<u<2,则
于是,随机变量的密度为
例4 在长为l的线段上,任意选取两点M和N,求E|M-N|,D|M-N|
解令Z=|M-N|,先求p(z)
F(z)=P(Z≤z)=P(|M-N|≤z)=, p(z)=F′(z)
再求E(Z)和D(Z).
例5(1) 设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则
P{max{X,Y}≤1}=______.
答案是:.
分析本题主要考查“二维均匀分布”中有关概率的计算问题.
由题设,可知(X,Y)~U(D),其中D={(x,y)|0≤x≤3,0≤y≤3}.
解法1
P{max(X,Y)≤1}=P(X≤1,Y≤1)=P(X≤1)·P(Y≤1)
解法2 由几何概型可知
(2) 在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于的概率为____.
答案是:.
分析本题主要考查“二维均匀分布或几何概型”.
解设随机取到的两个数为X与Y,则(X,Y)
另一方面我们也可以根据几何概型来计算,如图,即
2.“图解法”问题
例1 设事件A、B、C满足P(B)=2P(A),P(C)=3P(A),并且P(AB)=P(BC),则P(A)的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解由于AAB,于是有
x=P(A)≥P(AB)=y=P(BC)利用加法公式,有
1≥P(B+C)=P(B)+P(C)-P(BC)=3x+2x-y≥3x+2x-x=4x≥0
即0≤4x≤1 0≤x≤. 故选择D.
例2 设两个随机事件A,B相互独立,已知仅有A发生的概率为,仅有B发生的概率为,则P(A)=_______.
解
所以
例3 设X~N(2,σ2),并且P(2<X<4)=,则P(X<0)=______.
例4 设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的(0<<1),数满足P{X>}=.若P{|X|<x}=,则x等于
(A) (B) (C) (D)u1-α
解由题设,可知uα满足P(X>uα)=α.
可见,若要P(|X|<x)=α, 即P(|X|≥x)=1-α,
而P(X>x)=,因此故选择C.
3.“事件独立性”问题
①定义
相互独立
②等价定义
A. 两两独立+与独立(三者之一)
B. + 或1
例设事件A、B、C满足P(AB)=P(A)P(B),并且P(C)=[P(C)]2,则A、B、C( )
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