文档介绍：血样的分组化验
摘要
本问题所述的情况在医学统计、病毒检测等诸多问题中是首要解决的问题。进行某种疾病的调查,需要大量的统计数据,而统计数据的取得主要靠实验的方法,这时候,我们就要考虑如何让分组使得我们处理问题的效率提高,花销最少,本文就是以找出最优分组为主要目的。
首先解决的是在阳性先验概率p固定情况下建立一个概率模型使化验次数最小的问题,我们设平均每人检验次数的函数为f(x),然后通过非线性方程数值解法对其求解,找到是化验次数最小的每组人数;接着要解决的是阳性先验概率p为多大时,就不应该再分组;再接下来,解决二次分组(即阳性组再分组检验)的问题,我们采用非线性规划模型利用LINGO软件求使化验次数最少的最优解;最后通过平均概率模型讨论其它类型的血样分组情况。
关键字:概率模型非线性方程数值解法非线性规划平均概率模型
一、问题提出
要在人群中(数量很大)找出某种病患者,为减少检验次数,通常采用筛选的办法。即假设人群总数为 n, 将人群分成 m 组,每组的人数为 k,将每组的 k 份血样混在一起进行化验,若化验结果呈阳性,则需要对该组的每个人重新进行化验,以确定患者;若化验结果呈阴性,则表明该组全体成员均为阴性,不需要重新化验。
(1)已知先验阳性率为 p,,当 p 固定时,如何分组可使得化验次数最小;
(2)找出不必分组的先验阳性率p的取值范围;
(3)讨论两次分组的情况,即检测为阳性的组再次分组检验的情况;
(4)讨论其它分组方案,如半分法、三分法,这里我们采用平均概率模型进行分组。
二、基本假设
①血样的检验结果只存在阴性和阳性两种结果, 即阴性与阳性的先验概率之和为1,即p+q=1;
②假设先验概率是对某个人检验一次,结果呈阳性的概率,并假设先验概率在检验中保持不变(即假设该概率只与疾病有关,而对同一种疾病该值为常量);
③用来抽样的随机人群相互独立(即不考虑是否有遗传性与病毒的传染);
④为了简化模型,假设能够平均分配,进行再分组的时候,对呈阳性的组进行内分组。
三、符号说明
n
人群总数
m
第一次分组的组数
k
第一次分组每组人数
m'
第二次分组的组数
k'
第二次分组每组人数
p
先验阳性概率
q
先验阴性概率
L
为一次分组每人的化验次数的最小值
X
第一次分组每人的化验次数
X'
第二次分组每人的化验次数x1
E(X)
第一次分组的平均每个人化验次数的数学期望
E‘(X)
第二次分组平均每个人化验次数的数学期望
X1
第一次检验中化验为阳性的组数
X2
第二次分组后的组数
X3
第二次化验后得到的阳性组数的期望值
y1
第一次分组的化验次数
y2
第二次分组后第一步化验的次数
y3
第二次化验结束后的化验次数
y
总共需要化验的次数
四、问题分析
设人群总数为n,分为m组,每组的人数为k(2≤k≤n2)。设阳性的先验概率为 p,则阴性的先验概率为q=1-p。如果不进行分组,则每个人都需要化验1次。如果分组,当某组化验结果为阴性时,则不需再进行化验,又因为每个人是否是感染者是相互独立的,故该组平均每个人的化验次数为,概率为qk;若某组化验结果是阳性,则需要对该组的每个人进行化验,该组平均每个人的化验次数为1+,概率为1-qk。因此,需要分组的条件是第一次分组化验次数的数学期望小于1。要求化验次数的数学期望的最小值,就是要求在满足数学期望小于1的情况下的每组人数。
不应分组的条件就是要求阳性的先验概率p某一范围内,使分组后平均每个人化验次数的数学期望大于1。
在第一次分组化验的基础上结果显示为阳性的组再次进行分组化验。对于第一次分组化验为阳性的组,重新分为m'组,每组k'人。以二次分组时每个人的平均检验次数为目标,建立非线性规划模型,取不同的p,求出第一次分组的最佳分组人数k和第二次分组的最佳分组人数k'。
我们引入平均概率模型,把血样检验中可能出现的情况进行细化分析,最后得出,在实际情况当中,我们可以近似认为当血样检验位阳性的人数等于分组后每一组的人数时,可以使得我们的模型达到很好的优化。
五、模型建立与求解
1、模型一的建立与求解(问题一和问题二)
由以上分析我们可以得出随机变量X 的分布律为:
X
1k
1+kk
p
qk
1-qk
由此可以算出X的数学期望为:
EX=1kqk+1+kk1-qk=1-qk+1k
即一次分组每人的化验次数的数学期望。又因为阳性的先验概率p是固定的,故而是求当k是多少时此期望值为最小值,并且E(X)值不能超过1。
L=min