文档介绍：第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷
(非数学类)
解答下列各题(每小题6分共24分,要求写出重要步骤)
.
解因为……(2分);
原式
……………………………………………………………………………(2分);……(2分)
解记,只要证明发散即可。……………………(2分)
因为。…………(2分)
而发散,故由比较判别法发散。…………………………(2分)
,求的极值。
解方程两边对求导,得………………(1分)
故,令,得或………(2分)
将代入所给方程得,
将代入所给方程得,…………………………………(2分)
又
,
故为极大值,为极小值。…………………………(3分)
,使该切线与曲线及轴所围成的平面图形的面积为
,求点A的坐标。
解设切点A的坐标为,曲线过A点的切线方程为
……………………………………………………………………………(2分);
令,由切线方程得切线与轴交点的横坐标为。
从而作图可知,所求平面图形的面积
,
故A点的坐标为。……………………………………………………(4分)
二、(满分12)计算定积分
解
…………………………………(4分)
……………………(2分)
……………………………………………………………(4分)
…………………………………………………(2分)
三、(满分12分)设在处存在二阶导数,且。证明:级数收敛。
解由于在处可导必连续,由得
…………………………………………(2分)
……………………………………(2分)
由洛必塔法则及定义
…………………(3分)
所以……………………………(2分)
由于级数收敛,从而由比较判别法的极限形式收敛。……(3分)
四、(满分12分)设,证明
解因为,所以在上严格单调增,从而有反函数………………………………………………………………………………(2分)。
设是的反函数,则………(3分)
又,则,所以…(3分)
…………………(2分)
五、(满分14分)设是一个光滑封闭曲面,方向朝外。给定第二型的曲面积分。试确定曲面,使积分I的值最小,并求该最小值。
解记围成的立体为V,由高斯公式
……………(3分)
为了使得I的值最小,就要求V是使得的最大空间区域,即
取,曲面……(3分)
为求最小值,作变换,则,
从而……………………………………(4分)
使用球坐标计算,得
……………………(4分)
六、(满分14分)设,其中为常数,曲线C为椭圆,取正向。求极限
解作变换(观察发现或用线性代数里正交变换化二次型的方法),曲线C变为平面上的椭圆(实现了简化积分曲线),也是取正向…(2分)
而且(被积表达式没变,同样简单!),
………………………………………………………(2分)
曲线参数化,则有,
…(3分)
令,则由于,从而
。因此当时或时………(2分)
而
…(3分) 。故所求极限为……………(2分)
七(满分14分)判断级数的敛散性,若收敛,求其和。
解(1)记
因为充分大时…………(3分)
所以,而收敛,故收敛…(2分)
(2)记,则
= ………………(2分)
= …………………(2分)
= ………………………(2分)
因为,所以,从而,
故。
因此。(也可由此用定义推知级数的收敛性)……………(3分)