文档介绍：第二章静态电磁场I:静电场
基本方程与场的特性
Ñ · B = 0
Ñ · D = r
可见,在静止条件下电场和磁场之间没有相互耦合的关系,可以分别对电场和磁场进行分析和讨论。由于此时电场或磁场的源量与场量都不随时间变化,故统称为静态电磁场。
Ñ · D = r
其媒质的构成方程为 D = e E
显然,静电场是有散(有源)、无旋场。
在真空中,有
▽· E < 0,r < 0
图散度与场源的关系
▽· E > 0,r > 0
▽· E = 0,r = 0
其积分形式为(高斯定理):
上图表明:静电场是有散(有源)场。若场中某点▽·E>0,则r >0(正电荷),该点电力线向外发散,且为“源”的所在处;若某点▽·E<0,则r <0(负电荷),电力线从周围向该点汇集,是“汇”的所在处;若某点的▽·E=0,则 r =0(无电荷),电力线既不自该点发出,也不向该点汇集,而是通过该点,因此该点不存在场源。
▽×E=0
这表明静电场的旋度处处为零,静电场为无旋场,其电力线不是闭合曲线。
图电场力作功与路径无关
对右图闭合曲线作曲线积分,并应用斯托克斯定理,得:
即
表明在静电场中,电场力作功与路径无关,仅取决于起点和终点的位置。
自由空间中的电场
因为Ñ´E=0,由矢量恒等式Ñ´(Ñj)=0,E(r)可以表示为
式中,称为标量函数j(r)为静电场的标量电位函数,简称电位。上式表明,自由空间中任一点静电场的电场强度E等于该点电位梯度的负值。另外,由亥姆霍兹定理,有:
式中
R=|r - r¢ | = [(x - x¢ )2 + (y - y¢ )2 + (z - z¢ )2]1/2
由静电场的基本方程,得:
A(r) = 0
显然,亥姆霍兹定理再次证实了。
点电荷:
线电荷:
面电荷:
体电荷:
因为
代入前式,得
点电荷:
线电荷:
面电荷:
体电荷:
对于具有对称结构的静电场问题,可以利用高斯定理求解电场强度。
思路一:先求电位,再利用,求电场强度。
思路二:先求电场强度,再利用,求电位。
图有限长直线电荷沿r方向的电场
例1:真空中有限长直线段l上均匀分布线电荷密度为t 的电荷,如图所示。求线外中垂面上任意场点P处的电场强度。
[解]:采用圆柱坐标系,令z轴与线电荷重合,原点置于线段l的中点。
利用变量代换z¢ = r tga,dz¢ = r sec2a da,代入上式,最终解得
式中,。
讨论:如果<<1,这意味着或者l很小或者 r 很大,此时,则
相当于电量为t l的点电荷产生的电场。如果>>1,这可以视为无限长直的线电荷,此时,则
显然,这正是高斯定理给出的结果。
例2:求真空中球状分布电荷所产生的空间电场强度和电位分布,设电荷体密度为
。
[解]:由高斯定理,当r £ a时
当r > a时,
设无限远处为电位参考点,当r £ a时
图电偶极子
当r > a时,
例3:求电偶极子产生的空间电场强度与电位分布。
[解]:定义电偶极矩p(简称电矩,即p = qd,d为正负电荷间的距离,且规定d的方向由负电荷指向正电荷)表征其特性。在电介质中的场与电磁波辐射场等问题的分析中,电偶极子作为基本激励单元具有实际应用价值。仅考虑r >> d的情况,现采用球坐标系,设原点在电偶极子的中心,z轴与d相重。应用叠加原理,任意点的电位为
当r很大时,r1、r2和r三者将近乎平行,此时r2 - r1»dcosq,r1r2»r2代入上式,得
应用球坐标系中的梯度公式,得任意点的电场强度为
可见,电偶极子的电位与距离平方成反比,电场强度的大小与距离的三次方成反比。此外,其电位或电场强度均与方位角q 相关。
(线)
电力线(E线)的概念是法拉第提出的,是用图形描绘电场分布的有效工具之一。E线定义为其上任一点的切线方向应与该点电场强度方向相一致,即
E ´ dl = 0
在直角坐标系下,有
可得E线的微分方程为
上式便是E线的微分方程,而该微分方程的解答就是描绘E线的函数关系式。通常,E线的函数关系式可一般性地记为y(x, y, z) = C,取不同的C值,即可获得一系列E线的分布,从而直观地描绘了电场场强E(r)的空间分布。
等位面是用图形描绘电场分布的另一种有效工具。根据电场强度的定义,等位面分布愈密,该处电场场强愈高,且电力线与等位面正交。
利用本节例