文档介绍：【坐标系压轴专题】
坐标系中的问题,一般出在压轴题,不是压轴题也会有很大的难度,针对此便有了这个专题
【1】坐标系问题的基本运算
实用度:★★★★
如果想要熟练地解坐标系中的问题,先掌握下列的几个重要点(看不清放大看)
前三点、最后一点稍难,有口诀:
两点间距离公式:横坐标相减的平方加纵坐标相减的平方开根号
斜率k:竖直高度比水平宽度
中点坐标公式:横坐标的平均数,纵坐标的平均数
平移函数图像:左增右减,上加下减
【例题1】(原创)难度:★★★★
答案:
【2】等腰三角形、直角三角形存在性
基础做起,实用性:★★★
关键词:等腰两圆一线,直角两线一圆
这两点放在一起是为了对比,它们都需要分类讨论。什么叫做两圆一线、两线一圆呢?
举个例子,如图,AB线段一条,在下面那根直线上找P和Q,使得
(1.)△ABP是等腰三角形(2.)△ABQ是直角三角形
首先(1.),有三种可能(AB=AP,AB=BP,AP=BP),两圆:以A为圆心,AB为半径画圆,与直线交于P1,还有一个圆是以B为圆心,AB为半径画圆与直线交于P2和P3。最后一线:AB的垂直平分线与直线交于P4,P5(有时不一定5个,视情况而定)
(2.),同样三种,两线:分别以A、B作AB的垂线分别交直线于Q1,Q2,一圆:以AB为直径作圆,由于直径所对圆周角是直角,所以与直线交点为Q3 Q4(个数视情况而定)
已经找到了,怎么求呢?
等腰的话最暴力的算法就是设出未知点坐标,把三角形三段长都用两点间距离公式表达出来,最后一个一个等起来解方程即可。当然这是无可奈何、形状实在不好找的时候的迫不得已办法,一般他会给你已知两点,在抛物线对称轴上或x轴上或y轴上找,这样就有一些几何特征可以利用。当然暴力算法某些时候也是必须要用的。
直角,两线的好找(k1k2乘积为-1可以,做垂直相似也可以),最后一圆略麻烦,这就要用到模型:一线三等角,做垂直,如图。左右两个三角形相似,然后设线段长,表达,相似比,解方程即可。一般是一元二次方程,所以解出一个另一个就自然知道。
注意:这里是非常规做法,就是妙招,再好算或者你对自己计算有信心的情况下,可以用中点坐标公式得出圆心坐标,再得出半径,设出Q的坐标,用两点间距离公式来做。
【例题】(原创)难度:★★★
答案:
(1.)
(2.)P的坐标为(3,3)或(6,3)或
(3.)
【3】铅直高模型
实用度:★★★★★
平面直角坐标系里,随机的三个点,围成一个三角形,你能求出这个三角形的面积吗?
这种题很容易,简单几个字:水平宽乘铅直高
打个比方,这道题,随便找三个点A、B、C(坐标看网格),求△ABC的面积
好的我们先做辅助线,作CD⊥x轴交AB(或它的延长线)于D,那么不论这个三角形是钝角三角形还是锐角三角形还是直角三角形,它的面积总会等于图上那玩意。
其中,因为CD是作x轴的垂线做出来的,所以叫做铅直高,铅直高与哪个边相交,那么这条边(注意是线段,如图的AB)两个端点的水平距离为水平宽(事实上就是右边端点的横坐标减去左边端点的横坐标),两个的乘积的二分之一就是面积,从图上直观地看出,面积是4
怎么考?
一般让你求一个关于面积的函数解析式,然后求最大值。
怎么求?
水平宽好求,铅直高呢?再如图:
好了,已知抛物线函数表达式,如图,C是AB下方抛物线上的动点,求△ABC面积的最大值。做这种题先作辅助线CD⊥x轴交AB于D,然后设C坐标,因为CD⊥x轴,所以D的横坐标与C的相同。所以CD的长度就有,拿就是纵坐标相减(注意:被减数一定要是位于上方的点的纵坐标。)
这种题近几年考了很多,都快考烂了,所以中考绝不可能出这样常规的题,一定会加以创新。
【例题1】(原创)难度:★★★★
答案:
(1.)
(2.)提示:过D作DE的垂线交CE于G,利用竖直高解。
(3.)提示:求平行四边形面积最大值即求△BCD面积最大值,,
(4.)提示:作垂直,用相似。
【】四边形存在性问题——平行四边形
实用度:★★★★
四边形存在性近年来经常考,所以这部分要重视,只是平行四边形考得多了,题型会有创新,因此先打好常规题的基础:一般平行四边形最普通的出题方式如下:
普通法
函数给出,抛物线交直线于A、B,在抛物线和直线上分别找E、F,使得C、D、F、E为顶点的四边形是平行四边形。
这种题十分简单,用上次讲的铅直高表达EF和CD一等起来就是【以EF、CD为对边的平行四边形】注意还没有完,还要讨论对角线的情况,这要取CD中点,设坐标转化,然后代入函数求解。
然后稍微复杂的:作高法
这个讲起来就复杂点了,如图
函数有,B的坐标看网格,在抛物线、x轴上找P、Q,使以A、B、P、Q