文档介绍：二次根式的化简及运算
一、二次根式基本运算
二次根式的乘除法
1. 积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。
=·(a≥0,b≥0)
2. 二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。
·=.(a≥0,b≥0)
3. 商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
=(a≥0,b>0)
4. 二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。
=(a≥0,b>0)
二次根式的加减法
需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。类似于合并同类项。
化简步骤:
(1)“一分”,即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或因式)的幂的积的形式;
(2)“二移”,即把能开得尽的因数(或因式),用它的算术平方根代替,移到根号外,其中把根号内的分母中的因式移到根号外时,要注意写在分母的位置上;
(3)“三化”,即化去被开方数中的分母。
二、二次根式的乘方
1. 将单独根式中的整式(数)部分,根式部分分别乘方,如计算(2)2时,先将2乘方,再将乘方,结果再相乘;
2. 多项式的乘方注意使用乘方公式,同时也可以将其因式分解。
总结:
1. 乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑被开方数的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式;
2. 对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并。但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母。
例题1 已知a,b,c,d,e五个实数的平均值为k,各数与k的差如下表:
a
b
c
d
e
x
-
-
(1)除实数a外,与k的差的绝对值最大的实数是;
(2)求x的值。
解析:(1)直接求b、c、d、e与k的差的绝对值,比较大小即可;(2)根据题意,a-k=x,b-k=-,c-k=-3,d-k=2,e-k=,又有a+b+c+d+e=5k,可求k的值。
答案:解:(1)∵|b-k|=|-|=,|c-k|=|-|=3,|d-k|==2,|e-k|==,
∴与k的差的绝对值最大的实数是c;
(2)依题意,得a-k=x,b-k=-,c-k=-3,d-k=2,e-k=,
五式相加,得a+b+c+d+e-5k=x-,又有a+b+c+d+e=5k,所以x-=0,即x=。
例题2 设=a,=b,用含a,b的式子表示,则下列表示正确的是( )
A. B. 3ab C. D.
解析:先把化为、的形式,再把a、b代入计算即可。
答案:解:∵==•,=a,=b,∴=。故选A。
点拨:此题主要考查二次根式的化简,应化简到被开方数开不尽为止。
有条件的根式求值
利用已知条件进行二次根式的运算,关键是对所给条件进行适当的变形,条件的变形没有规律可循,要根据题目需要,运用所学知识适当变形。
例题已知x、y为正数,且(+)=3(+5),求的值。
解析:要求代数式的值,首先将分子分母的字母统一成一种,因此要整理已知条件,