文档介绍：等差数列
1+2+3+···+100=?
高斯
(1777—1855)
德国著名数学家
得到数列 1,2,3,4, …,100
引例一
姚明刚进NBA一周训练罚球的个数:
第一天:6000,
第二天:6500,
第三天:7000,
第四天:7500,
第五天:8000,
第六天:8500,
第七天:9000.
得到数列:
6000,6500,7000,7500,
8000,8500,9000
引例二
匡威运动鞋(女)的尺码(鞋底长,单位是cm)
引例三
22
23
24
姚明罚球个数的数列:
6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000
发现?
22, , 23, , 24
观察:以上数列有什么共同特点?
从第 2项起,每一项与前一项的差都等于同一常数。
高斯计算的数列:
1,2,3,4, …,100
观察归纳
运动鞋尺码的数列
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示。
递推公式:an-an-1=d (d是常数,n≥2,n∈N*)
等差数列定义
②6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000
公差d=1
公差d=500
公差d=
①1,2,3,…,100;
2、常数列a,a,a,…是否为等差数列?若是,则公差是多少?若不是,说明理由
想一想
公差是0
3、数列0,1,0,1,0,1是否为等差数列?若是,则公差是多少?若不是,说明理由
不是
公差d是每一项(第2项起)与它的前一项的差,防止把被减数与减数弄颠倒,而且公差可以是正数,负数,也可以为0
注意
1、数列6,4,2,0,-2,-4…是否为等差数列?若是,则公差是多少?若不是,说明理由
公差是-2
已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d
a2-a1=d
……
an-an-1=d
(1)式+(2)式+…+(n-1)式得:
a3-a2=d
a4-a3=d
an-a1=(n-1)d,
(1)
(2)
(3)
(n-1)
通项公式
累差迭加法
an=a1+(n-1)d
即
例1
(1)求等差数列8,5,2,…的第20项
(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项?
解:
(1)由a1=8,
d=5-8=-3,
n=20,得
a20=
(2) 由a1=8,
d=-9-(-5)=-4,
得到这个数列的通项公式为
an=-5-4(n-1)
由题意知,问是否存在正整数n,使得
-401= -5-4(n-1) 成立
解关于n的方程,
得n=100
即-401是这个数列的第100项。
8
+
(20-1)
×
(-3)
=-49
例题讲解
例2
在等差数列{an}中,已知a5=10, a12=31,求首项a1与公差d.
解:
由题意知,
a5=10=a1+4d
a12=31=a1+11d
解得:
a1=-2
d=3
即等差数列的首项为-2,公差为3
点评:利用通项公式转化成首项和公差
联立方程求解