文档介绍：第一节线性空间
一: 线性空间的定义与例子
定义设是一个非空的集合, 是一个数域,
在集合中定义两种代数运算, 一种是加法运算,
用来表示; 另一种是数乘运算, 用来表示, 并且这两种运算满足下列八条运算律:
第一章线性空间和线性映射
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1
(1) 加法交换律
(2) 加法结合律
(3) 零元素在中存在一个元素使得对
于任意的都有
(4) 负元素对于中的任意元素都存
在一个元素使得
(5)
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2
(6)
(7)
(8)
称这样的为数域上的线性空间。
例 1 全体实函数集合构成实数域上的
线性空间。
例 2 复数域上的全体型矩阵构成
的集合为上的线性空间。
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3
例 3 实数域上全体次数小于或等于的多项
式集合构成实数域上的线性空间
例 4 全体正的实数在下面的加法与数乘的
定义下也构成线性空间:
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4
定义: 线性组合;线性表出;线性相关;线性无关;
向量组的极大线性无关组;向量组的秩.
二: 线性空间的基本概念及其性质
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5
复****线性组合与线性表示
设是向量空间V的r个向量, 是数域F中任意r个数. 我们把和
叫做向量的一个线性组合.
如果V 中某一向量可以表示成向量的线性组合,我们也说可以由线性表示.
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6
复****线性相关与线性无关
定义
设是向量空间V的r个向量。如果存在F中不全为零的数使得
(1)
那么就说线性相关.
如果不存在F中不全为零的数使得等式(1)成立,换句话说,等式(1)仅当 时才成立,那么就说,向量 线性无关.
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7
(1)含有零向量的向量组一定线性相关;
(2)整体无关部分无关;部分相关整体相关;
(3)如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向
量组线性表出,那么含有向量多的向量组一定线性相
关;
(4)向量组的秩是唯一的,但是其极大线性无关并不
唯一;
(5)如果向量组(I)可以由向量组(II)线性表出,
那么向量组(I)的秩向量组(II)的秩;
(6)等价的向量组秩相同。
复****线性相关与线性无关基本性质
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8
定义设为数域上的一个线性空间。如果在
中存在个线性无关的向量使得
中的任意一个向量都可以由
线性表出
则称为的一个基;
为向量在基下的坐标。此时我们
称为一个维线性空间,记为
,坐标与坐标变换
例 1 实数域上的线性空间中向量组
与向量组
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9
例 2 实数域上的线性空间中的向量组
与向量组
都是的基。是4维线性空间。
都是的基。是3维线性空间。
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