文档介绍：数论短期班100题手册
知识框架体系
一、奇偶性质
奇数和偶数的表示方法:
因为偶数是的倍数,所以通常用这个式子来表示偶数(这里是整数);
因为任何奇数除以其余数总是,所以通常用式子来表示奇数(这里是整数).
特别注意,因为能被整除,,最小的偶数是.
奇数与偶数的运算性质:
性质一:偶数偶数=偶数(偶数偶数=偶数)
奇数奇数=偶数(奇数奇数=偶数)
偶数奇数=奇数(偶数奇数=奇数)
可以看出:一个数加上(或减去)偶数,不改变这个数的奇偶性;
一个数加上(或减去)奇数,它的奇偶性会发生变化.
(也可以这样记:奇偶性相同的数加减得偶数,奇偶性不同的数加减得奇数.)
性质二:偶数奇数=偶数(推广开来还可以得到:偶数个奇数相加得偶数)
偶数偶数=偶数(推广开就是:偶数个偶数相加得偶数)
奇数奇数=奇数(推广开就是:奇数个奇数相加得奇数)
可以看出:一个数乘以偶数时,乘积必为偶数;几个数的积为奇数时,每个乘数都是奇数.
(也可以这样简记:对于乘法,见偶(数)就得偶(数)).
性质三:任何一个奇数一定不等于任何一个偶数.
二、整除
整除的定义
所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整除”就是说“商是一个整数”;或者换句话说:存在着第三个自然数c,“b整除a”或者“a被b整除”,其中b叫a的约数,a是b的倍数,记作:“”.
整除性质:
⑴传递性若,,则.
⑵可加性若,,则.
⑶可乘性若,,则.
整除的特征
⑴的整除特征
能否被和整除是看末两位;能否被和整除是看末三位;能否被和整除是看末四位
(,,,)
⑵的整除特征
能否被整除是看数字之和是否是的倍数,并且这个数除以的余数和这个数数字之和除以的余数相同,因此判断一个数除以九余几就可以先把和是的倍数的数划掉,剩下的数是几就代表这个数除以九余几
⑶的整除特征
①能否被,,整除规律是把数从末三位开始,三位为一段断开,只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为,,的倍数,并且奇数段的和减去偶数段的和的差被除余几就代表这个数除以余几
②能否被整除规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是否为的倍数,并且算出的差除以余几就代表这个数除以余几
⑷其他一些数的整除规律是拆成一些熟悉的数的整除特征
如,,,
(这样我们就知道至所有整数的整除特征)
三、约数和倍数
约数和倍数定义
⑴约数和倍数的定义:如果一个自然数能被自然数整除,那么称为的倍数,为的约数.
⑵最大公约数的定义:如果一个自然数同时是若干个自然数的约数,,:,.
⑶最小公倍数的定义:如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数,,:,.
约数和倍数
⑴最大公约数的性质:
①几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数;
②几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数;
③几个数都乘以一个自然数,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以.
⑵最小公倍数的性质:
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.
②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积.
③两个数具有倍数关系,则它们的最大公约数是其中较小的数,最小公倍数是较大的数.
⑶最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系:
①,即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积;
②最大公约数是、、、及最小公倍数的约数.
求一组分数的最大公约数与最小公倍数
⑴求一组分数的最大公约数:
先将各个分数化为假分数;求出各个分数的分母的最小公倍数;求出各个分数的分子的最大公约数;即为所求.
⑵求一组分数的最小公倍数方法步骤:
先将各个分数化为假分数;求出各个分数分子的最小公倍数;求出各个分数分母的最大公约数;即为所求.
例如:
四、质数、合数
相关定义
质数:一个数除了和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数).
合数:一个数除了1和它本身,还有别的约数,:和不是质数,也不是合数.
质因数:如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数.
互质数:公约数只有1的两个自然数,叫做互质数.
分解质因数:把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数.
常用的以内的质数:、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、,共计个;除了其余的质数都是奇数;除了和,其余的质数个位数字只能是,,或.
考点:⑴值得注意的是很多题都会以质数的特殊性为考