0058数学课件：平面向量的数量积.ppt

文档介绍：平面向量的数量积
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一、引入:
一个物体在力F 的作用下产生的位移s,那么力F 所做的功应当怎样计算?
S
F
θ
力做的功:W = |F||s|cos,是F与s的夹角
向量的数量积

说明:
(1)当θ=0时,a与b同向;
(2)当θ=π时,a与b反向;
(3)当θ=π/2时,a与b垂直, 记a⊥b;
(4)注意在两向量的夹角定义中,≤≤180
b
a
O
a
b
O
已知非零向量a与b,作=a, =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.
平面向量数量积(内积)的定义:
已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a||b|cos叫a与b的数量积,记作ab,即有
ab =|a||b|cos,(0≤θ≤π).
规定0与任何向量的数量积为0。
探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos的符号所决定。
(2)两个向量的数量积称为内积,写成ab;符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.
(3)在实数中,若a0,且ab=0,则b=0;在数量积中,若a0,且ab=0,能不能推出b=0?为什么?
(4)由ab = bc 能否推出a = c ?
(5)在实数中,有(ab)c = a(bc),但是(ab)c  a(bc)
显然,这是因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量,而一般a与c不共线。
3.“投影”的概念:
定义:|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。
投影也是一个数量,不是向量;
当为锐角时投影为正值;
当为钝角时投影为负值;
当为直角时投影为0;
当= 0时投影为|b|;
当= 180时投影为|b|。
:
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。
:
设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量。
1 ea = ae =|a|cos
2 ab  ab = 0
3当a与b同向时,ab = |a||b|;当a与b反向时,
ab = |a||b|。
特例:aa = |a|2或
4 cos=
5|ab| ≤|