文档介绍：实对称矩阵的对角化
实对称矩阵的特征值和特征向量的性质
定理1(性质1) 对称矩阵的特征值为实数.
证明
说明:本节所提到的对称矩阵,除非特别说
明,均指实对称矩阵.
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于是有
两式相减,得
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定理1的意义
定理2(性质2)
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证明
于是
定理3
(性质3)
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证明
它们的重数依次为
设的互不相等的特征值为
实对称矩阵的对角化
根据定理1(对称矩阵的特征值为实数)和定
理3可得结论:
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由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交,
这样的特征向量共可得个.
故这个单位特征向量两两正交.
以它们为列向量构成正交矩阵,则
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根据上述结论, 利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵,其具体步骤为:
将特征向量正交化;
3.
将特征向量单位化.
4.
2.
1.
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解
例1 对下列各实对称矩阵,分别求出正交矩阵,
使为对角阵.
(1)第一步求的特征值
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解之得基础解系
解之得基础解系
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解之得基础解系
第三步将特征向量正交化
第四步将特征向量单位化
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