初中数学《二次函数》知识点.docx

文档介绍：初中数学《二次函数》知识点
I定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量之间存在如下关系:=ax^2+bx+
(a,b,为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大)则称为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II二次函数的三种表达式
一般式:=ax^2+bx+(a,b,为常数,a≠0)
顶点式:=a^2+[抛物线的顶点P(h,)]
交点式:=a[仅限于与x轴有交点A(x₁,0)和B(x₂,0)的抛物线]
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a=/4ax₁,x₂=/2a
III二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数=x^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
IV抛物线的性质
抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是轴(即直线x=0)
2抛物线有一个顶点P,坐标为:P/4a)当-b/2a=0时,P在轴上;当Δ=b^2-4a=0时,P在x轴上。
3二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。
4一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在轴右。
常数项决定抛物线与轴交点。
抛物线与轴交于(0,)
6抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2-4a>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2-4a=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b^2-4a<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4a的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
V二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)=ax^2+bx+,
当=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax^2+bx+=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
=ax^2,=a^2,=a^2+,=ax^2+bx+的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
当h>0时,=a^2的图象可由抛物线=ax^2向右平行移动h个单位得到
当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
当h>0,>0时,将抛物线=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动个单位,就可以得到=a^2+的图象;
当h>0,<0时,将抛物线=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动||个单位可得到=a^2+的图象;
当h<0,>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动个单位可得到=a^2+的图象;
当h<0,<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动||个单位可得到=a^2+的图象;
因此,研究抛物线=ax^2+bx+的图象,