文档介绍：主成分分析
在社会经济的研究中,为了全面系统的分析和研究问题,必须考虑许多经济指标,这些指标能从不同的侧面反映我们所研究的对象的特征,但在某种程度上存在信息的重叠,具有一定的相关性。
问题∶能否构造出一些综合指标使满足如下条件∶
①指标个数尽可能少,
②指标间相互独立,
③尽可能多地包含原指标所含的关于总体的信息。
§ 什么是主成分分析及基本思想
1. 什么是主成分分析
例如∶做一件上衣要测量的指标有∶身长、袖长、胸围、腰围、肩宽、肩厚等等十几项指标。某服装厂生产一批新型服装,需将十几项指标综合为3项指标(分别反应长度、胖瘦、特体),用作分类的型号。
又如商业经济∶
多项指标-->物价、生活费用、商业活动指数。
主成分分析是将原来众多具有相关性的指标化为少数几个相互独立的综合指标的一种统计方法。
一项十分著名的工作是美国的统计学家斯通(stone)在1947年关于国民经济的研究。他曾利用美国1929一1938年各年的数据,得到了17个反映国民收入与支出的变量要素,例如雇主补贴、消费资料和生产资料、纯公共支出、净增库存、股息、利息外贸平衡等等。
在进行主成分分析后,%的精度,用三新变量就取代了原17个变量。根据经济学知识,斯通给这三个新变量分别命名为总收入F1、总收入变化率F2和经济发展或衰退的趋势F3。更有意思的是,这三个变量其实都是可以直接测量的。斯通将他得到的主成分与实际测量的总收入I、总收入变化率I以及时间t因素做相关分析,得到下表:
F1
F2
F3
i
i
t
F1
1
F2
0
1
F3
0
0
1
i
-
l
i
-
-
-
l
t
-
-
-
-
-
1
主成分分析试图在力保数据信息丢失最少的原则下,对这种多变量的截面数据表进行最佳综合简化,也就是说,对高维变量空间进行降维处理。
很显然,识辨系统在一个低维空间要比在一个高维空间容易得多。
(1) 基于相关系数矩阵还是基于协方差矩阵做主成分分析。当分析中所选择的经济变量具有不同的量纲,变量水平差异很大,应该选择基于相关系数矩阵的主成分分析。
在力求数据信息丢失最少的原则下,对高维的变量空间降维,即研究指标体系的少数几个线性组合,并且这几个线性组合所构成的综合指标将尽可能多地保留原来指标变异方面的信息。这些综合指标就称为主成分。要讨论的问题是:
(2) 选择几个主成分。主成分分析的目的是简化变量,一般情况下主成分的个数应该小于原始变量的个数。关于保留几个主成分,应该权衡主成分个数和保留的信息。
(3)如何解释主成分所包含的经济意义。
§ 主成分分析的数学模型与几何解释
1 数学模型
设有n个样品,每个样品观测p项指标(变量): X1,X2,…,Xp,得到原始资料矩阵:
其中