文档介绍：例:半径为R的大圆静止不动,半径为r的小圆沿大圆内侧做无滑滚动,小圆的角速度恒为ω,
求:(1)小圆绕大圆一周所用的时间。
解:无滑滚动→ vc= ωr
C点绕O点一周所用的时间
O
C
A
求:(2)C点相对O点的加速度
解:C点相对O点做匀速圆周运动
求:(3)接触点A相对O点的加速度
由加速度变换公式:
O,C,A在同一直线OA上→两加速度方向相同→标量相加
例:质量为m的小球,从内壁为半球形的容器边缘点A滑下,设容器质量为M,半径为R,内壁光滑,并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上,开始时小球和容器都处于静止状态,求:(1) 当小球沿内壁滑到容器底部的B点时,受到向上的支持力为多大?
由于小球相对于桌面轨迹较复杂,而相对于容器,小球的轨迹仍为圆弧,取容器为参考系(非惯性系)
R
B
A
分析:容器未固定,可以滑动
要求B点的支持力,先求B点的向心力
为求B点速率,注意到小球+容器(+地球)组成的系统:
桌面参考系中,水平方向上不受外力,动量守恒
支持力不做功(与相对位移方向垂直,一对支持力做功之和为0)
只有重力做功,系统的机械能守恒
要求B点的向心力,先求B点的速率(相对于容器)
R
B
A
解:根据水平方向系统动量守恒及下滑过程中系统机械能守恒
以B点为重力势能零点
其中vm, vM分别表示小球到达B点时小球、容器相对桌面的速度
现在以容器为参考系,求在B点小球相对容器的速度vm’
R
B
A
容器参考系中,小球圆周运动的向心力
小球运动到容器底部这一特殊位置时,
求:(2) 小球相对于桌面的运动轨迹在B点的曲率半径?
对容器没有水平方向的作用力,从而容器参考系的加速度为0,则容器参考系中的惯性力也为0。
由于在B点,容器参考系的加速度为0,小球在地面参考系中的法向加速度(小球速度水平向右)也为
∴相对桌面
例:轨道上的小车质量为M,它下面用长为l 的绳子系一质量为m的砂袋。现有一质量为m0的子弹水平地射入砂袋内,而与砂袋一起运动,最大摆角为θ。若不计小车与轨道间的摩擦。
求:子弹射入时的速度v0
解:子弹+砂袋完全非弹性碰撞
动量守恒
子弹+砂袋+小车, 上摆过程
最高点处三者具有共同的对地速度
水平方向动量守恒
只有重力做功(拉力为一对内力) ,
三式联立,可得
机械能守恒
例:如图所示,小车从A点自静止开始,沿路径AEDBCE运动。其中,半径为 r 的环形路径EDBCE内的DBC段为一缺口,而∠BOC=∠BOD=α,不计摩擦,
问:(1)当高度h=?时,小车才能越过缺口循上述路径运动?
(2)要使h值为最小,角α为几度?
x
y
解:小车越过DC时只受重力作用,故作斜抛运动。
如图建立坐标系,其轨道方程
v
设D点的速度为v,
要求D点抛出,C点落回,即斜抛轨迹经过C点
C点坐标:x=2r sinα y=0
代人轨迹方程,得抛出速度为
低于此速度,小车落入圆内
高于此速度,小车飞到圆外
当高度h=?时,小车到D点的速度满足
由以上两式,解得:
小车从点A滑到点D的过程中,斜面和环壁对小车的支承力N不作功,则由小车与地球组成的系统,其机械能守恒。
欲求h值最小时的α角,即求极值
即
解得:
思考:小车在D点所受的环壁压力
x
y
v
★临界问题
m
M
x
y
O
y’
O’
θ
例:一质量为M,半径为R的光滑均质半球,静置于光滑桌面上,在球顶有一质量为m的质点,由静止沿球面下滑。
求:(1) m脱离M前的轨迹,(2) m绕球心O’的角速度。
解:要求的是m相对桌面的轨迹,以及m相对球心O’的角速度
(1) 以桌面为参考系,建立坐标系Oxy,设m在某时刻t的坐标为(x,y)
设O’在t时刻的坐标为X,脱离前有:
由于桌面光滑,在水平方向上,m和M系统动量守恒
设m相对桌面的水平速度为vx,M相对桌面的速度为V
即
m
M
x
y
O
y’
O’
θ
结合初始条件:t=0时,x=0,X=0,两边积分
∴轨迹方程为
或写为
可见,其轨迹为一椭圆,半长轴在y轴上,半短轴在x轴上。
(2) m相对于O’作圆周运动,设其角速度为ω,则其绝对速度
解得:
m
M
x
y
O
y’
O’
θ
桌面参考系中,只有重力做功,机械能守恒!
以桌面处为重力势能零点
代入解得: