文档介绍：第二节广义积分的收敛判别法
上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中,我们将发现大量的积分是不能直接计算的,有的积分虽然可以直接计算,但因为过程太复杂,也不为计算工作者采用,对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值. 对广义积分而言,求其近似值有一个先决条件—积分收敛,否则其结果毫无意义。因此,判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的.
(Cauchy收敛原理)f(x)在[a, +∞)上的广义积分收敛的充分必要条件是:, 存在A>0, 使得b, >A时,恒有
证明:对使用柯西收敛原理立即得此结论.
同样对瑕积分(为瑕点), 我们有
(瑕积分的Cauchy收敛原理)设函数f(x)在[a,b)上有定义,在其任何闭子区间[a, b–]上常义可积,则瑕积分收敛的充要条件是: , , 只要0<,就有
积分收敛,我们称广义积分绝对收敛(也称f(x)在[a,+上绝对可积]; 如收敛而非
绝对收敛,则称条件收敛,也称f(x)在[a,+上条件可积.
由于,均有
因此,由Cauchy收敛原理,我们得到下列定理.
积分绝对收敛,则广义积分必收敛.
它的逆命题不一定成立,后面我们将会看到这样的例子。
对其它形式的广义积分,类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质.
下面我们先介绍当被积函数非负时,广义积分收敛的一些判别法.
比较判别法:
(无限区间上的广义积分)设在[a,+)上恒有(k为正常数)
则当收敛时, 也收敛;
当发散时, 也发散.
证明:由Cauchy收敛原理马上得结论成立.
对瑕积分有类似的结论判别法
设f(x), g(x) 均为[a,b)上的非负函数,b为两个函数的奇点,如存在一个正常数k, 使
[a, b), 则
如收敛,则也收敛。
2)如发散,则也发散.
比较判别法在实际应用时,我们常常用下列极限形式.
如果f(x), g(x)是[a,+上的非负函数, 且则
(1) 如果, 且收敛, 则积分也收敛.
(2) 如果, 且发散,则积分也发散.
证明:如果则对于, 存在A,
当时,
即成立. 显然与同时收敛或同时发散,在l=0或 l=时,可类似地讨论.
使用同样的方法,我们有
对以b为唯一瑕点的两个瑕积分与如果f(x), g (x) 是非负函数,且则
当, 且收敛时,则也收敛.
当,且发散时,则也发散.
对无限区间上的广义积分中,取作比较标准,则得到下列Cauchy判别法:设f(x)是[a,+的函数,在其任意闭区间上可积,那么:
若0f(x), p>1,那么积分收敛,如f(x),p1,则积分发散.
其极限形式为
如(, p>1), 则积分收敛.
如, 而, 1, 则发散.
判断下列广义积分的收敛性。
(1)
(2) (m>0, n>0)
解:(1)因为0
由收敛推出收敛.
(2)因为所以当n-m>1时,积分收敛. 当n-m1时,积分发散.
对于瑕积分,使用作为比较标准,我们有下列柯西判别法.
设x=a是f(x)在[a,b上的唯一奇点,在其任意闭区间上可积,那么
如0f(x) (c>0), p<1, 则收敛.
如f(x) (c>0), p1, 则发散.
瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为
设
如0k<, p<1, 则收敛
如0<k, p1, 那么发散.
判别下列瑕积分的敛散性。
(1) (k2<1)
(2) (p,q>0)
解:(1)1是被积函数的唯一瑕点
因为=
由知瑕积分收敛.
(2)0与都是被积函数的瑕点.
先讨论由
知: 当p<1时, 瑕积分收敛; 当p1时,瑕积分发散.
再讨论
因
所以当 q<1时, 瑕积分收敛,
当q1时,瑕积分发散.
综上所述,当p<1且q<1时, 瑕积分收敛; 其他情况发散.
求证: 若瑕积分收敛,且当时函数f(x)单调趋向于+,则x f(x)=0.
证明:不妨设, f(x)0, 且f(x)在(0, 1)上单调减少。
已知收敛,由柯西收敛准则,有
, (<1), 有
从而
0<
或
0<x f(x)
即x f(x)=0.
求证瑕积