文档介绍：关于多项式矩阵秩的恒等式及其推广
孙季华
(莆田学院数学系指导老师:杨忠鹏)
摘要:本文主要从胡付高[1]的一个定理出发,把定理的条件加以弱化,推导出更一般的关于多项式矩阵秩恒等式的结论,利用矩阵的秩和线性变换的秩关系简单的证明了线性变换在互素多项式下直和分解的结论,同时对[5]的一个猜想给出了证明。
关键词:互素线性变换直和核二次矩阵
Abstract:This paper deduces a more general conclusion about rank identities of the polynomial matrix, which is based on a theorem of hu the condition of the theorem has been to the relations between the rank ot the matrix and the rank of the linear transformation,the conclusions of the direct sum position of the linear transformation under the relatively prime polynomials has been proved the conjecture of the literature[5] has been proved.
Keywords: relatively prime linear transformation direct sum nucleus quadratic matrix
0符号说明及引言
矩阵的秩的研究是高等代数的一个重要内容,本文在参考文献[1]的一个定理出发对多项式矩阵的秩做进一步的讨论,结合矩阵的知识,分块的初等变换法得到一个更为精确的结论,本文更重要的是利用矩阵和线性变换的秩关系,从而更加简单的证明了线性变换在互素多项式下直分解的结论,并加以推广得到相关的结果,本文进一步对文献[5]的一个尚未解决的猜想给以提出来并加以证明。
用P表示数域、分别表示数域P上一元多项式和n阶矩阵的集合,表示矩阵A的秩,E表示单位矩阵,约定与分别表示首项系数为1的最大公因式和最小公倍式。表示复数域上所有n阶矩阵的集合,
表示线性变换,= ,表示线性变换的值域,表示的维数。
预备定理
我们首先引入本论文用到的基本定理
(见[10],第16页)中的两个多项式互素的充分必要条件是存在中的多项式使。
引理 (见[10],第48页)设,首项系数都为1则
设,,则
证明:,存在多项式使得将上面两式相乘得

引理 ,则其中
证明:,,,。
因为,,使得,
,两两互素且,令,,则
证明:设,只需证明即可,=,即,所以且同理
,,,因为,,所以,,
显然故所以。
,,,则是直和。
证明:,都有
于是。零向量表示法唯一,若零向量表示法不唯一则有。于是
这与矛盾所以零向量的表示法是唯一的,由直和的定义推出
,则的一组基的原像及的一组基合起来就是V的一组基,且有

,则
证明:设()
因为, ()
所以 ()
, ()
()
由试()~()对矩阵做分块的初等变换
=
==
=
=
=
=
则
= 所以
推论设,若,令,则
设,则
证明: ()
因为
所以()
所以 ()
由()~()对矩阵做分块的初等变换
=
=
=
=
=则

推论设,且,则
推论设,而分别是与的最大公因式和最小公倍式又设,则()
证明由知,存在,使得且,又有公式,得。故有推论得
由此既得()成立
,,且,则
证明:
,且两两互素。,。
证明: 因为两两互素,,即也两两互素,下面用数学归纳法来证明
时显然成立.
.
假设时成立

得
可见当时等式成立,所以上述定理成立。