文档介绍：2013中考综合题(七季-圆的问题)(共七季)
,直线y=﹣x+2分别与x、y轴交于点B、C,点A(﹣2,0),P是直线BC上的动点.
(1)求∠ABC的大小;
(2)求点P的坐标,使∠APO=30°;
(3)在坐标平面内,平移直线BC,试探索:当BC在不同位置时,使∠APO=30°的点P的个数是否保持不变?若不变,指出点P的个数有几个?若改变,指出点P的个数情况,并简要说明理由.
考点:
一次函数综合题
分析:
(1)求得B、C的坐标,在直角△BOC中,利用三角函数即可求解;
(2)取AC中点Q,以点Q为圆心,2为半径长画圆⊙Q,⊙Q与直线BC的两个交点,即为所求;
(3)当BC在不同位置时,点P的个数会发生改变,使∠APO=30°的点P的个数情况有四种:1个、2个、3个、.
解答:
解:(1)在y=﹣x+2中,令x=0,得y=2;
令y=0,得x=2,
∴C(0,2),B(2,0),
∴OC=2,OB=2.
tan∠ABC===,
∴∠ABC=60°.
(2)如答图1所示,连接AC.
由(1)知∠ABC=60°,∴BC=2OB=4.
又∵AB=4,∴AB=BC,
∴△ABC为等边三角形,AB=BC=AC=4.
取AC中点Q,以点Q为圆心,2为半径长画圆,与直线BC交于点P1,P2.
∵QP1=2,QO=2,∴点P1与点C重合,且⊙Q经过点O.
∴P1(0,2).
∵QA=QO,∠CAB=60°,∴△AOQ为等边三角形.
∴在⊙Q中,AO所对的圆心角∠OQA=60°,
由圆周角定理可知,AO所对的圆周角∠APO=30°,故点P1、P2符合条件.
∵QC=QP2,∠ACB=60°,∴△P2QC为等边三角形.∴P2C=QP=2,∴点P2为BC的中点.
∵B(2,0),C(0,2),∴P2(1,).
综上所述,符合条件的点P坐标为(0,2),(1,).
(3)当BC在不同位置时,点P的个数会发生改变,使∠APO=30°的点P的个数情况有四种:1个、2个、3个、4个.
如答图2所示,
以AO为弦,AO所对的圆心角等于60°的圆共有2个,记为⊙Q,⊙Q′,点Q,Q′关于x轴对称.
∵直线BC与⊙Q,⊙Q′的公共点P都满足∠APO=∠AQO=∠AQ′O=30°,
∴点P的个数情况如下:
①有1个:直线BC与⊙Q(或⊙Q′)相切;
②有2个:直线BC与⊙Q(或⊙Q′)相交;
③有3个:直线BC与⊙Q(或⊙Q′)相切,同时与⊙Q(或⊙Q′)相交;直线BC过⊙Q与⊙Q′的一个交点,同时与两圆都相交;
④有4个:直线BC同时与两圆都相交,且不过两圆的交点.
,在平面直角坐标系中,圆D与轴相切于点C(0,4),与轴相交于A、B两点,且AB=6.
(1)则D点的坐标是( , ),圆的半径为;
(2)sinACB= ;经过C、A、B三点的抛物线的解析式;
(3)设抛物线的顶点为F,证明直线FA与圆D相切;
图12
(4)在轴下方的抛物线上,是否存在一点N,使面积最大,最大值是多少,并求出点坐标.
解:
(1)(5,4)------------1分
5------------2分
(2)sinACB=, --------------4分
P
N
(3)证明:因为D为圆心,A在圆周上,DA=r=5,故只需证明,
抛物线顶点坐标:F,, (5分)
N
所以
所以AF切于圆D。(6分)
存在点N,使面积最小。
设N点坐标(a,),过点N作NP与y轴平行,交BC于点P。
可得P点坐标为(a,) ----------------7分
∴NP=-()=
∴S△BCN =S△BPN +S△PCN =×BO×PN=×8×()=16-(a-4)2
-----------8分
当a=4时,S△BCN最大,最大值为16。此时,N(4,-2)------------9分
部分小题方法不一,不同做法可酌情给分,参考如下:
(4)、存在点N,做一条与BC平行的直线,平移,
当它与抛物线有一个交点时,此时以BC为底的三角形
高度最大。抛物线与该直线的交点,就是所求的N点。
易求BC的K值为,所以设动直线为:
,与抛物线联立:
(1分)
所以(1分)
过N做y轴的平行线,交BC于一点,求此点坐标
BC:,令x=4,解得y=2,∴面积的最大值= (1分)
若(3)问用高中点到直线距离公式也给分。
-1,过点A(0,4)的圆的圆心坐标为C(2,0),B是第一象限圆弧上的一点,且BC⊥AC,抛物线经过C、B两点,与轴的另一交点为D。
(1)点B的坐标为( , ),抛物线的表达式为
(2