文档介绍：关于线性变换的矩阵表示
定义
给定线性空间 V 的一个基, V上有线性变换 T, 则每个在之下都有唯一的坐标, 即有如下表示
,
用矩阵表示即为
, (★)
其中
.
此时称 A 为线性变换 T 在基下的矩阵.
注: (1) 同一线性变换在不同基之下的方阵一般不同, 但这些方阵彼此是相似的, 从而有相同的特征值, 亦即线性变换的特征值不依赖于所在空间基的选择. (定理 )
(2) 由定义看出, 为求线性变换在特定基下的方阵, 要把特定基在线性变换下的像表示成给定基的线性组合, 从而基写在左边, 而相应的方阵是写在右边的. (见(★) 式)
(3) 当线性空间时,出于不同人的偏好, 中的元素有的喜欢写为列向量的形式, 而有的偏好行向量的形式, 这并没有本质区别, 但当把中元素写成行向量进行具体计算时若不小心则容易引起混乱. 如, 定义上的线性变换
, (●)
求T 在基(1,0), (0,1) 下的方阵.
显然, , 而
, ,
于是 T 在基(1,0), (0,1) 下的方阵为
,
即
.
此时上面第二个等式右边不能写为
,
这是没法相乘的! 还应注意由(●) 可得
,
这里的不是T 在给定基下的方阵.
作业题
第23 题的一种解答.
思路: 首先利用任一组基求出线性变换 T (其矩阵为 A) 的特征值,进一步得出相应的由特征向量组成的方阵 P, 此时 P-1AP 为以 T 的特征值为对角线元素的对角方阵. 可以把 P 看成是从已知基到未知基的过渡矩阵,进而可求出相应的未知基, 由定理知, T在新的基下的方阵一定是对角的.
解给定 R2 的一个基
于是
,
即 T 在基下的方阵为
.
容易求得 A 的特征值
.
进而时易求方程的基础解系为
.
时易求方程的基础解系为
.
令
.
则(容易验证或利用正交变换的知识立得)
.
据此(把 P 看成是从已知基到未知基的过渡矩阵, 即) 构造 R2 的另一组基
则(由定理 ) T 在基之下的方阵是对角的且为.
3. 考试
正交变换,线性变换的题期末必考, 书上相关例子应该会.