文档介绍：第四讲基本算法(2) --分治
扬州大学陈斌
8/13/2018
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ACM/ICPC辅导教程
[定义]
对于一个规模为n的问题,若该问题可以容易地解决(比如说规模n较小)则直接解决,否则将其分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题形式相同,递归地解这些子问题,然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
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分治法基本思想
任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小,越容易直接求解,解题所需的计算时间也越少。例如,对于n个元素的排序问题,当n=1时,不需任何计算。n=2时,只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可,…。而当n较大时,问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题,有时是相当困难的。
分治法的设计思想是,将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破,分而治之。
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分治法的适用条件
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征:
该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决;
该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质。
利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解;
该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子子问题。
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上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的,因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加;第二条特征是应用分治法的前提,它也是大多数问题可以满足的,此特征反映了递归思想的应用;第三条特征是关键,能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征,如果具备了第一条和第二条特征,而不具备第三条特征,则可以考虑贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率,如果各子问题是不独立的,则分治法要做许多不必要的工作,重复地解公共的子问题,此时虽然可用分治法,但一般用动态规划法较好。
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基本步骤
分治法在每一层递归上都有三个步骤:
分解:将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题;
解决:若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题;
合并:将各个子问题的解合并为原问题的解。
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一般的算法设计模式
Divide-and-Conquer(P)
1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P))
3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk
4. for i←1 to k
5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △递归解决Pi
6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △合并子问题
7. return(T)
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其中|P|表示问题P的规模;n0为一阈值,表示当问题P的规模不超过n0时,问题已容易直接解出,不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法,用于直接解小规模的问题P。因此,当P的规模不超过n0时,直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法,用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解。
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大整数的乘法
问题描述
通常,在分析一个算法的计算复杂性时,都将加法和乘法运算当作是基本运算来处理,即将执行一次加法或乘法运算所需的计算时间当作一个仅取决于计算机硬件处理速度的常数。
   这个假定仅在计算机硬件能对参加运算的整数直接表示和处理时才是合理的。然而,在某些情况下,我们要处理很大的整数,它无法在计算机硬件能直接表示的范围内进行处理。若用浮点数来表示它,则只能近似地表示它的大小,计算结果中的有效数字也受到限制。若要精确地表示大整数并在计算结果中要求精确地得到所有位数上的数字,就必须用软件的方法来实现大整数的算术运算。
   请设计一个有效的算法,可以进行两个n位大整数的乘法运算
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设X和Y都是n位的二进制整数,现在要计算它们的乘积XY。我们可以用小学所学的方法来设计一个计算乘积XY的算法,但是这样做计算步骤太多,显得效率较低。如果将每2个1位数的乘法或加法看作一步运算,那么这种方法要作O(n2)步运算才能求出乘积XY。下面我们用分治法来设计一个更有效的大整数乘积算法。
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