文档介绍：递推法解排列、组合及概率问题
排列组合在高中数学旧教材中是相对独立的内容,而在高中数学新教材中排列组合是概率及统计的基础,因此,排列组合内容在高中数学新教材中的位置也变得相对重要起来了。而概率是新教材中新增加的内容,也是初等概率论中最基本的内容。在历年的高考中,排列组合知识多是选择题或填空题,概率一般是一个解答题,这些题的题型繁多,解法独特,因此得分率普遍较低。本文试图用递推法来解决几类常见的排列组合及概率问题。
1 走楼梯问题
例1:欲登上第10级楼梯,如果规定每步只能跨上一级或两级,则不同的走法共有( )
(A)34种(B)55种(C)89种(D)144种
解法1:分类法:
第一类:没有一步两级,则只有一种走法;
第二类:恰有一步是一步两级,则走完10级要走9步,9步中选一步是一步两级的,有种可能走法;
第三类:恰有两步是一步两级,则走完10级要走8步,8步中选两步是一步两级的,有种可能走法;
依此类推,共有=89,故选(C)。
解法2:递推法:
设走级有种走法,这些走法可按第一步来分类,
第一类:第一步是一步一级,则余下的级有种走法;
第二类:第一步是一步两级,则余下的级有种走法,
所以,又易得,由递推可得,故选(C)。
显然,递推法的关键是按照某种标准找出递推关系式,并求出取第一个值(或前几个值)时的各项,然后代入递推关系式,求出题中要求的值。当然,我们也可以由找出的递推关系,求出通项,但对于选择填空题,我们不必大动干戈的去求通项,因为这样太浪费时间与精力。
2 更列问题
把个元素排成一列,所有元素各有一个不能占据的指定位置,且不同元素不能占据的指定位置也不同,我们把满足这种条件的一个排列叫做这些元素的一个更列。
例2:五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有( )
(A)60种(B)44种(C)36种(D)24种
解:首先我们把人数推广到个人,即个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上。设满足这样的站队方式有种,现在我们来通过合理分步,恰当分类找出递推关系:
第一步:第一个人不站在原来的第一个位置,有种站法。
第二步:假设第一个人站在第2个位置,则第二个人的站法又可以分为两类:第一类,第二个人恰好站在第一个位置,则余下的个人有种站队方式;第二类,第二个人不站在第一个位置,则就是第二个人不站在第一个位置,第三个人不站在第三个位置,第四个人不站在第四个位置,……,第个人不站在第个位置,所以有种站队方式。
由分步计数原理和分类计数原理,我们便得到了数列的递推关系式:
,显然,,再由递推关系有,
,故应选(B)
我们再来看一道全国高考题:
例3:同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡不同的分配方式共有( ) (1993年全国高考试题)
(A)6种(B)9种(C)11种(D)23种
此题就是更列问题,即为例2中的,故选(B)
3 染色问题
例4:用4种不同颜色涂四边形的4个顶点,要求每点染一种颜色,相邻的顶点染不同的颜色,则不同的染色方法有( )
(A)84种(B)72种(C)48种(D)24种
解:我们先把这个题目推广:用种不同颜色给边形的个顶点染色(其中,且为常数