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文档介绍：第九章重积分****题课(一)
二重积分
主要内容
典型例题
巩固训练
探索提高
一、二重积分的概念
:
:
表示曲顶柱体的体积
:
——
的质量.
主要内容
二、二重积分的性质
:
2. 可加性:
4. 单调性:
3. 区域的面积:
若在上, ,则
设
:
:
则在上至少存在一点, 使得
是的面积,
7. 奇偶对称性:
, 是的面积
0
D关于x(或y)轴对称, 为y(或x)的奇函数
设函数在闭区域上连续,
D关于x(或y)轴对称, 为y(或x)的偶函数
则
三、二重积分的计算方法

(1) X-型区域:
.
关键:选择积分次序
(2) Y-型区域:

四、交换二次积分次序的方法
交换二次积分的次序,其实质是把二重积分化为二次积分的逆问题。改变积分次序应首先对给定的二次积分求出其对应的二重积分的积分区域, 其次要判断的类型, 然后再根据的类型, 将二重积分化为另一次序的二次积分。
改变二次积分的积分次序
由分别确定
由分别确定
Yes
Yes
No
No
D-Y型
D-X型

五、二重积分的应用

(其中)

(1) 质量
(2) 质心
(3) 转动惯量
(1) 曲顶柱体的体积
(2) 空间曲面的面积
【例1】根据二重积分的性质,比较积分与
的大小;其中是三角形的闭区域,三个
顶点分别为, , .
解: 积分区域如图所示.
分析由二重积分的性质可知,比较两个积分的大小, 只需比较被积函数在积分区域上的大小即可。
一般要考虑到所围成的区域特点,
二要恰当运用不等式证明的方法。
.
.
典型例题