文档介绍：§4 倒格子
一、概念的引入
晶体结构的周期性,可以用坐标空间(r空间)的布拉维格子来描述,这是前几节我们所讨论的内容,也是我们易于理解的实物粒子的普遍描述.
然而,量子力学的学****使我们认识到,,同时也是具有一定的波长和频率的波,波也是物质存在的一种基本形式.
?如果可以,在波矢k空间,k应满足什么条件呢?
布拉维格子具有平移对称性,因而相应的只与位置有关的物理量,均应是布拉维格矢R的周期函数,如:格点密度、质量密度、电子云密度、离子实产生的势场等都是如此。
不失一般性,上述函数可统一写为:
布拉维格矢
由于F(r)是布拉维格矢R的周期函数,所以可以将其展开成傅里叶级数:
展开系数
1. 周期函数的傅里叶展开
展开系数
原胞体积
因为:
所以:
成立
也就是说,一定存在某些使得当成立时
2. 定义
对布拉维格子中所有格矢,满足
或(m为整数)的全部端点的集合,构成该布拉维格子,称为正格子的倒格子(reciprocal lattice)
与倒格子的定义对应,由格矢的端点所描述的布拉维格子,称为正格子(direct lattice)
由端点的集合所描述的布拉维格子,称为倒格子(reciprocal lattice)
称为倒格矢
利用倒格矢,满足的傅里叶展开为:
意义:把上述满足坐标空间中的某物理量转变为倒格子空间,且只存在波矢为倒格矢的分量。
二、倒格子是倒易空间的布拉维格子
将
代入
得:
欲使上式恒成立,且考虑到n1,n2,n3为任意整数,则要求:
h1,h2,h3为整数
显然,如果令
h1,h2,h3为整数
当满足时,则下式自然成立:
可知亦应该不共面,从而可以用描述倒格子。
由于为基矢,互不共面,则由
或:
由于为倒格矢,如果把倒格矢所在的空间称为倒格子空间,或倒易空间(reciprocal space),则由于不共面,自然可以成为倒易空间的基矢。
和对比,表明对应的是倒易空间中的布拉维格子,亦即倒格子是倒易空间的布拉维格子。
从而且也可作为以为基的某一布拉维格子的倒格子的定义。
讨论:
由
可知:
垂直,因此,
和
与
平行
所以可令:
两边同时点乘
原胞的体积
1.