文档介绍：第七讲曲线积分与曲面积分
空间曲线的参数化
若积分曲线的参数方程,则曲线积分的计算公式为
曲线积分计算的关键是如何将积分曲线参数化。下面将给出积分曲线参数化的某些常用方法。
设积分曲线,从中消去某个自变量,例如,得到在
xoy平面的投影曲线,这些投影曲线常常是园或是椭圆,先将它们表示成参数方程然后将它们代入中,解出由此得到的参数方程:。
例1将曲线,(其中)用参数方程表示。
解:从的方程中消去y,得到xoz平面上的投影曲线,这是椭圆,它的参数方程为,将其代入的方程,得到,所以的参数方程为。
若的方程中含有园、椭圆或球的方程时,要充分利用园、椭圆或球的
所熟知的参数方程先将其参数化,再代入的另一方程,求出另一变量的参数表达式。
将曲线,(其中)用参数方程表示。
解:在xoy平面的投影曲线为,这是一个圆,先将其参数化。因为,所以它的参数方程为
,将其代入得
所以的参数方程为。
例3 对例1加一个条件,求它的参数方程。
解:是球面,引入球坐标,
由于得,故
二、曲线积分的计算
,因此它的自变量应满足积分曲线方程,所以首先可用积分曲线方程去化简被积函数。
(以第一类平面曲线积分为例)
(1)曲线关于x轴对称,是指,换句话说,若则它的对称点;
(2)曲线关于y轴对称,是指,换句话说,若则它的对称点;
(3)曲线关于原点对称,是指,换句话说,若则它的对称点;
(4)曲线关于直线对称(或直线对称),是指,
(或),换句话说,互为对称点,互为对称点。
若曲线积分的被积函数在任意的对称点处的函数值互为相反数,则;在任意的对称点处函数值都相等,则
,其中是相应对称积分曲线的一半。
例1 计算(1),其中;
(2) ,其中,周长为a。
解:(1)由于关于y轴对称,被积函数x在对称点处的函数值互为相反数,所以。
由于关于直线对称,函数在对称点处互为相反数,所以
,即,从而有
由于的参数方程为,所以
.
(2)
.
其中关于x轴对称,且2xy在对称点处的值互为相反数,所以.
例2设,求弧长的曲线积分,其中为正方形的边界。
解:如图,由于折线对关于直线对称,且在对称点上有,所以
,;
,
原式。
例3 计算,其中。
解:(1)由于在上,所以
由例1的参数方程为,则
.所以。
格林公式的应用
若积分曲线不是封闭,则可添加若干条直线(或曲线)使之构成封闭曲线,
再应用格林公式;
若封闭曲线L所围成的区域D内有“奇点”,则在奇点外成立等式
的条件下,有成立,其中Le
是围绕奇点的正向简单闭曲线,通常是园或椭圆等。
例1 设记为它的正向边界曲线。证明:
证:由格林公式得
其中,是由于是关于直线对称,即
。同理可证。两积分相等可由格林公式得出。
例2 计算,其中是以(1,0)为中心R(R>1)为半径的正向圆周。
解:首先验证成立。
由于在为边界的闭区域内有不连续点(0,0),因此在
内部作正向闭曲线,其中充分小,所以
例3. 已知关于坐标的曲线积分(常数),其中函数可导,且是围绕(0,0)的任一分段光滑正向闭曲线,求(1)函数的表达式;(2)A的值。
解:(1)为了应用格林公式求出,先计算对于任一不包含原点的分段光滑的正向闭曲线C都有.(因为未知,所以原点有可能为被积函数的不连续点) 如图:
由此可知对有成立,即
,解此微分方程得,由于所以C=1
所求的。
取L1为正向圆周,则。
(1)柱面被曲面截下部分的面积。
计算公式为,其中在xoy面上的投影曲线.
例1 求柱面位于球面之内的侧面的面积。
解:由于关于三个坐标面都对称,所以(S0是S位于第一卦限部分的面积)。由对弧长的曲线积分的几何意义,知道
所以.
由坐标面上的平面曲线绕某轴旋转一周而成的旋转曲面的面积。
例2设,,求的表面位于内部分的的面积。
解:如图:的表面位于内部分的曲面可以看成是由AB绕z轴旋转一周而成的旋转的侧面,,所以
.
三、曲面积分的计算
1. 第一类曲面积分的对称性
(1)曲面关于xoy平面对称,是指若则它关于xoy平面的对称点;
(2)曲面关于原点对称,是指则它的对称点;
(3)曲面关于平面对称,是指则它的对称点;
若被积函数的在对称点处的函数值互为相反数,则;在对称点处函数值相等,则,其中是相应对称积分曲面的一半。
例1 求下列曲面积分
(1),其中;
(2),其中;
解:(1)
由于关于平面对称,且函数在对称点处的